Gruppenhomomorphismen/Untergruppe/Ring

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krista77 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen/Untergruppe/Ring
http://img831.imageshack.us/img831/8208/unbenanntcot.png

Meine Frage betrifft nur die b). Bei der a) bin ich einigermaßen durchgestiegen, bei der b) komm ich leider überhaupt nicht weiter, da ich schonmal die Aufgabenstellung kaum verstehen Augenzwinkern

Meine Ideen:
Mein "Ansatz":
Ein Grupppenhomomorphismus besteht doch aus 2 Verknüpfungen. Nur (R,+) ist gegeben. H(r,r) sei also die Menge aller anderen Verknüpfungen, die mit (R,+) einen Gruppenhomomorphismus haben (stimmt das soweit??)?!

weiter komm ich leider nicht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll es bedeuten dass eine Abbildung aus 2 Verknüpfungen besteht? Das macht keinen Sinn.
Es sind alle Endomorphismen gemeint, also alle Abbildungen von in sich selbst
 
 
krista77 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also ist H(r,r) die Menge aller Abbildungen von (R,+) in sich selbst.
Wie gehe ich denn dann weiter vor?
Wie kann H(r,r) denn eine Untergruppe aus (f(r,r)*) erzeugen? bzw. was ist diese?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Menge kann eine Untergruppe erzeugen, das sollte dir bekannt sein. Teste zunächst einmal ob bereits eine Untergruppe ist, wenn nein: Was geht schief?
math89 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann von die erzeugte Untergruppe, sein?

Weil ja ein Gruppenelement ein Teil von einem Gruppenhomorphismen ist.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das macht keinen Sinn. Das eine sind Abbildungen und das andere Zahlen.
krista77 Auf diesen Beitrag antworten »

sind alle homomorphismen von R in sich selbst jetzt von der form : x -> nx ?

Ich kanns leider nicht wirklich beantworten, obwohl ich schon einiges nachgelesen hab:
Also ich würde sagen, dass H(R,R) keine untergruppe ist. Somit müsste um zu übergrüfen ob ( H(R,R), +) eine Untergruppe zu ( R, +) folgendes gelten:

1)Existenz eines neutrales element in H(R,R) : müsste gelten, da bei n=1 x auf x abgebildet wird?!
2)Existenz eines inversen elements in H(R,R) : gilt bei n=-1
3) Abgeschlossenheit von H(R,R), das gilt glaube ich nicht, da nicht jedes a,b aus H(R,R) auch a+b in H(R,R) ist..
=> H(R,R) ist keine Untergruppe
würde das soweit stimmen?
wie müsste ich die aufgabe dann weiter bearbeiten, was wäre die von H(R,R) erzeuge untergruppe von f(R,R) ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein sind sie nicht. Es gibt auch Hom. die nicht so aussehen.

Deine Untersuchung auf Untergruppe ist allerdings eher schwach ausgeführt. Die Existenz des neutralen Elements passt noch, der Rest ist aber nicht einmal ausgeschrieben. So hast du teilweise auch Fehler gemacht. Mache das noch einmal gründlich.
Je gründlicher du das bearbeitest, desto besser weißt du was noch zu einer Untergruppe fehlt.
math89 Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte mal fragen, ob die Aussage was ist die von erzeugte Untergruppe von ,) bedeutet?

Bedeutet dass, das eine Untergruppe erzeugt.

Die Textstelle verstehe ich so erzeugte untergruppe von ,) bedeuten.

Aber auch, dass wiederrum eine Untergruppe von ,) bildet.


Mein Problem besteht darin, dass ich den Satz nicht genau verstehe.

Geprüft werden muss doch, dass eine Untergruppe erstellt, die in irgendeiner Beziehung mit ,) steht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge M die Teilmenge einer Gruppe ist kann immer eine Untergruppe erzeugen. Lies das nochmal in deinem Skript nach.

Ist M bereits eine Untergruppe, so ist das Erzeugnis von M wieder M selbst
mezmerizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo erstmal !

Könnte man nicht so vorgehen? (entschuldigung für meine Latex -Unkenntnis) :
„ + “ soll überall für die Verknüpfung als Addition stehen
„ € “ als „Element von“

Damit H eine Untergruppe von F ist, müsste folgendes gelten:

a) - H soll also keine leere Menge sein

b) für alle f,g € U ist auch f + € U


zu a)
H enthält alle Gruppenhomomorphismen der Form H:= {h:G-->G} mit G:={R,+) für die gilt:
h ( f + g )=h ( f ) + g ( f )
Da diese Abbildung bijektiv ist, kann man ein neutrales Element angeben, nämlich die Identität id:G-->G mit id(x)=x für alle x € G. Da für alle h € H und jedes x € G gilt :

(id °h)(x) = id(h(x)) = h(x) und (f ° id)(h) = f(h(x)) = h(x).
(" ° " sei hier das Zeichen für Verknüpfung)
Somit wäre das neutrale Element eine 1 ?!
Damit wäre h schonmal keine leere Menge...
Jetzt bliebe noch zu zeigen, dass das neutrale Element von H (nH) gleich dem neutralen Element nF von F ist. Dazu bezeichne (!nH) das Inverse zu nH in F.
Dann gilt nH = nH ° nH (müsste ich jetzt hier nicht eigentlich ein „+“ einsetzen, dann wäre das neutrale Element aber nicht die Identität, sondern 0 ???)
Also
nF = nH ° nH = (nH ° nH) ° !nH = nH ° (nH ° !nH) = nH ° nF = nH

zu b)
Da jedes h H bijektiv ist, gibt es für jedes h auch eine Umkehrfunktion der Form (-h), die wiederum bijektiv, also ein Element von H ist.
Für diese gilt:
h°(-h) = id und (-h)°h=id. Also ist jeweils (-h) das Inverse zu h.
Seien nun g,f € U und sei (-f) das inverse Element von f in F. Da H eine
Gruppe ist, hat f auch ein inverses Element (ˆf) in H.
Da

f +ˆf =ˆf + f = nH = nF

ist ˆf auch ein Inverses Element von H in F und dieses ist in F eindeutig.
Also gilt

(-f) = (ˆf) € H.

Da H eine Gruppe ist, muss schlussendlich mit g und (-f) auch g + (-f) € H sein.

Womit dann auch die zweite Bedingung aus b) erfüllt wäre.

Bei H handelt es sich also nicht nur um eine Teilmenge von F, sondern auch um eine Untergruppe. Das Erzeugnis von H ist also H selbst ?!
<H> = H
Somit ist H ganz in F enthalten.
Die Frage war jedoch: „Wie sieht diese aus ?“
Da tue ich mir auch etwas schwer mit...<H> wäre doch die kleinste Untergruppe von (F,+) die alle Elemente aus H enthält. Aus oben folgt dass <H> aus dem neutralen Element nF von F besteht.
Außerdem müsste <H> aus allen Verknüpfungen von endlich vielen (g_i) € F bestehen, die selbst oder deren Inverse in H sind. Auch das ist gegeben, jedoch enthält <H> aber nur die Identität in sich selber oder ? Somit wäre <H> eine zyklische Gruppe ??? Oh mann, glaub ich bin grad übelst aufm Holzweg, würde mich wirklich freuen wenn mich Unwissende jemand aufklärt =) !!!

Mit dem zweiten Teil der Aufgabe habe ich ebenfalls Probleme. Soll hier der Schnitt zwischen F(R,R,+,°) und H(R,R) gebildet werden? Aus diesem resultiert dann die Einschränkung ??? und was beudetet genau F(R,R,+,°) ? heißt dass, das F alle Funktonen der Addition und der Verkettung enthält ?

Vielen, vielen Dank schonmal für eure Hilfe !!! smile
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