Äquivalenz zweier Gleichungen zeigen

21.11.2010, 19:08

Corinna88

Äquivalenz zweier Gleichungen zeigen

Hallo zusammen,

ich habe hier 2 Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y^{3}+py=q \end{eqnarray*}$

Ich soll nun mit $\begin{eqnarray*} y=x+\frac{a}{3} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p=b-\frac{a^{2}}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-c+\frac{ab}{3}-\frac{2a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass die Gleichungen äquivalent zueinander sind.

Ich habe alle Werte in die zweite Gleichung eingesetzt, aufgelöst usw. aber komme nicht ganz zum Abschluss. Habe es schon 5 Mal gemacht, auch mit der ersten Gleichung und habe immer am Ende stehen:

$\begin{eqnarray*} x^{3}+ax^{2}+bx+c+\frac{a^{2}x}{6}-\frac{a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$

Die zwei letzten Brüche sind also zu viel. Das würde aber bedeuten (falls mein Ergebnis stimmt), dass die Gleichungen letztendlich nicht äquivalent sind. Was ich aber nicht glaube...

Mein Rechnungsweg:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{a}{3})^{3}+(b-\frac{a^{2}}{3})*(x+\frac{a}{3})=-c+\frac{ab}{3}-\frac{2a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} x^{3}+\frac{ax^{2}}{3}+\frac{2ax^{2}}{3}+\frac{a^{2}x}{6}+\frac{2a^{2}x}{6}-\frac{a^{2}x}{3}+\frac{a^{3}}{18}-\frac{a^{3}}{6}+\frac{2a^{3}}{27}+\frac{ab}{3}-\frac{ab}{3}+bx+c \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax^{2}}{3}+\frac{2ax^{2}}{3}=ax^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}x}{6}+\frac{2a^{2}x}{6}-\frac{a^{2}x}{3}=\frac{a^{2}x}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{3}}{18}-\frac{a^{3}}{6}+\frac{2a^{3}}{27}=-\frac{a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$

"Endergebnis":

$\begin{eqnarray*} x^{3}+ax^{2}+bx+c+\frac{a^{2}x}{6}-\frac{a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$

Nur wo liegt mein Fehler?

Grüße, Coco

21.11.2010, 19:31

lgrizu

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RE: Äquivalenz zweier Gleichungen zeigen

Zitat:

Original von Corinna88

Mein Rechnungsweg:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{a}{3})^{3}+(b-\frac{a^{2}}{3})*(x+\frac{a}{3})=-c+\frac{ab}{3}-\frac{2a^{3}}{27} \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} x^{3}+\frac{ax^{2}}{3}+\frac{2ax^{2}}{3}+\frac{a^{2}x}{6}+\frac{2a^{2}x}{6}-\frac{a^{2}x}{3}+\frac{a^{3}}{18}-\frac{a^{3}}{6}+\frac{2a^{3}}{27}+\frac{ab}{3}-\frac{ab}{3}+bx+c \end{eqnarray*}$

hier liegt dein fehler:

wende auf $\begin{eqnarray*} (x+\frac{a}{3})^3 \end{eqnarray*}$ die binomische formel an:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{a}{3})^3=x^3+3 \cdot \frac{a}{3}x^2+3 \cdot (\frac{a}{3})^2x+(\frac{a}{3})^3=x^3+ax^2+\frac{a^2}{3}x+ \frac{a^3}{27} \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray*} (b-\frac{a^2}{3})(x+\frac{a}{3})=bx+\frac{ab}{3}-\frac{a^2}{3}x-\frac{a^3}{9} \end{eqnarray*}$

fasst man das zusammen , so sollte man auf das richtige ergebnis kommen.

...ist das wirklich hochschulmathe?

21.11.2010, 19:38

Corinna88

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Hey danke für die Antwort! Kann das so nachvollziehen.

Also das ist wirklich Hochschulemathe. Ich stelle halt so doofe Fragen, weil mir teilweise die Basics fehlen, leider. Die Aufgabe ist in einem komplexeren Zusammenhang eingebettet, falls du das meinst.

Grüße, Coco

21.11.2010, 19:57

lgrizu

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okydoki, wenn noch fragen sind, einfach melden Augenzwinkern

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Äquivalenz zweier Gleichungen zeigen

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