Beweisen, dass v1,...,vn eine basis von V (VR über C) ist wenn...

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Panceco Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen, dass v1,...,vn eine basis von V (VR über C) ist wenn...
Hallo,

die Fragestellung lautet:

Sei V ein - Vektorraum.
Beweisen Sie: Genau dann bilden
,..., eine Basis von V (als
Vektorraum über ), wenn ,... ,..., eine Basis von V als - Vektorraum bilden.

mir fehlt da leider völlig der Ansatz,
hab mittlerweile begriffen, was ein Vektorraum ist und was dazu gehört.
Auch Untervektorräume sind mittlerweile klar und leider auch,
dass ich noch nicht den nötigen Grad der Abstraktion erreicht habe, um mich in Beweisen u.Ä. ohne Hilfe zurecht zu finden.

Zudem finde ich einige Skripte und Bücher sehr kryptisch und unzugänglich.
Ich will es ja begreifen, können und verstehen doch noch hat es nicht entgültig "Klick" gemacht :/
Aber ich gebe die Hoffung nicht auf smile


Ich weiß, dass eine Untermenge von ist aber wieso Vektoren mit einem Imaginärteil eine Basis von bilden können ist mir absolut schleierhaft, weil es in eigentlich kein i gibt...

Danke für eure Hilfe smile
Draos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nen Schreibfehler in der Aufgabenstellung gemacht.

Angenommen deine Aufgabenstellung wäre richtig, dann würde sein, was nicht geht da

Gute Nacht dann mal
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das verwirrt mich, dann scheine ich ja doch was verstanden zu haben, doch zu Sicherheit hänge ich mal einen Schreenshot an.

Aber schon mal vielen Danke für die Antwort smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

das ist gar nicht so verwirrend, betrachte die komplexen zahlen als vektorraum über den reellen zahlen

@draos:
die aufgabenstellung ist so schon richtig, dass i kein element aus R ist stört wenig...

so ist zum beispiel 1, i eine basis der komplexen zahlen als vektorraum über R, aber i ist kein element R.

hier ist eigentlich, mit der richtigen argumentation nur zu zeigen, dass über die dimension 2 hat....
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich bisher weiß, kann ich die Anzahl der Dimensionen doch nur über die Anzahl der Elemente der Basis bestimmen und in einem Beweis weiß ich leider nicht mal wie ich anfangen soll :/

Aber schon mal gut zu wissen, dass das i gar nicht stört smile
hab schon langsam befrüchtet, dass es sich um eine Fangfragen handelt Augenzwinkern

Wie sollte ich denn am besten Ansetzten?

Danke smile
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Jemand eine Idee?
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Fange willkürlich mit der Richtung => an. Zeige dass die Menge rechts ein Erzeugendensystem bildet. Benutze dazu natürlich die Voraussetzung
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Genau daran haperts ja bei mir, hätte ich Vektoren würde ichs wohl hinbekommen,
aber als Allgemeinen Beweis kommt bei mir leider nicht mehr als
L {}
aufs Papier...

Das einzige was ich jetzt so wüßte, ist dass die Einheitsvektoren eine Basis von

bilden
doch das nützt mir hier wohl wenig...

Trotzdem danke, dass ihre es probiert habt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch einmal ein beliebiges Element v aus V. Wie kannst du v jetzt darstellen?
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du z.B. so?

v1=
hab etwas gefunden, was auf die lineare Unabhängigkeit eingeht,
und irgendwie scheint es mir, asl wenn es mich der Lösung ein großen Schritt näher bringt

Korriegiert mich bitten, wenn ich mir irre Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

wieso nimmst du denn einen dreidimensionalen vektor?

und ja, deine anhänge sollten dich auf den richtigen weg bringen....


betrachte einmal folgendes:



wir können nun mit die linke seite der gleichung etwas anders hinschreiben und dann neu sortieren...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu


Nein, , was nicht unbedingt sein muss(aber natürlich dazu isomorph ist)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Zitat:
Original von lgrizu


Nein, , was nicht unbedingt sein muss(aber natürlich dazu isomorph ist)


jap, hast recht, habs editiert, kleine unaufmerksamkeit Augenzwinkern
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für Eure Hilfe Freude

Habs zwar nicht mehr rechtzeitig geschafft, um die Augabe abzugeben
aber ich möchte es dennoch verstehen.


Ich hätte dann bis jetzt







Doch leider sehe ich immernoch nicht, wie ich das Geforderte daraus beweisen soll verwirrt

Wie kann ich z.B. daraus ableiten, dass es sich um linear unabhängige Vektoren handelt?
Muss ich doch, damit es sich um eine Basis handelt, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Panceco



Ich hätte dann bis jetzt








das ist so nicht richtig, die klammersetzung ist falsch, richtig wäre:



und nun ist es fast vollbracht, noch umsortieren und nen bissel argumentieren....
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube mein Problem liegt einfach darin, dass ich den Zusammenhang nicht begriffen habe,
warum


genau dann eine Basis von V als VR über bildet
wenn


eine Basis von V als VR über bildet...

Wenn ich das nachvollziehen könnte, würde ich vielleicht sogar drauf kommen,
wie ich das



umstellen und wie ich dazu passend argumentieren müsste.

Versteht mich nicht falsch, ich bin wirklich dankbar für eure Hilfe,
doch ich möchte nicht einfach die Lösung haben, sonder verstehn warum es auch eine Lösung ist Augenzwinkern

Aber schon mal tausend Dank bis hierher
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

in vektorräumen gilt doch für skalare a,b und einen vektor v folgendes:

.

nun wenden wir das an.

zunächst ist die menge eine basis eines vektorraums V über , also linear unabhängig und erzeugendensystem.

damit lässt sich jedes element w des vektorraums auf eindeutige weise darstellen als:

.

nun sind die , also jedes dieser lässt sich darstellen als:

mit .

ist das soweit schon mal klar?
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, soweit klar smile

Hab mich einfach schwer getan mit der Formulierung.
So wußte ich z.B. nicht, dass ich



schon als Basis ansehen darf.
Dachte, dass ich das noch beweisen müsste Augenzwinkern

Und wir würde die Argumentation weiter gehen?

Nochmal danke lgrizu.
Hoffe sehr, dass Du einmal Feuerwehrmann wirst Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

okay, wir haben also:


.

wenden wir darauf folgendes an:

mit dann erhalten wir, dass jeder vektor w aus V dargestellt werden kann durch



die skalare .

nun kann also jeder vektor aus V durch eine linearkombination der vektoren über dem körper dargestellt werden.

damit bildet die menge ein erzeugendensystem des vektorraums V über .

dass sie linear unabhängig ist wissen wir, denn nach vorraussetzung ist die menge linear unabhängig.

nun ist eine richtung gezeigt, nämlich:

ist basis von V über ist basis von V über .

die rückrichtung funktioniert dazu analog
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach genial smile
Werde es sicher noch ein paar (hundert) mal durchgehen (müssen) aber zum ersten Mal erkenne ich einen Zusammenhang smile
Tausend Dank Big Laugh
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

schön zu wissen, dass der lichtblick gekommen ist, wenn noch fragen sind melden, ansonsten schönen abend noch Wink

edit: ach so, ich wollte dazu noch stellung nehmen:

Zitat:
Original von Panceco

So wußte ich z.B. nicht, dass ich



schon als Basis ansehen darf.
Dachte, dass ich das noch beweisen müsste Augenzwinkern



das nehmen wir einfach an, denn es soll ja gezeigt werden:

ist Basis von V über
ist basis von V über


die richtung haben wir gezeigt....
Panceco Auf diesen Beitrag antworten »

Also langsam verstehe ichs, glaub ich ^^

Wenn ich dann die andere Richtung beweisen möchte, kann ich dann so vorgehen?

Wir haben ja die Basis von V über die durch die Menge
{ }
dargestellt wird.

Damit können wir jeden Vektor z.B. so darstellen:


Umgeformt ergibt sich daraus folgendes:


Durch Substitution erhalten wir






somit ist die Menge
{}
eine Basis von V über

Würde das so als Argumentation reichen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Panceco

Damit können wir jeden Vektor z.B. so darstellen:

so kann man nicht jeden vektor darstellen, die skalare sind hier alle 1,
aber folgendermaßen kann man alle vektoren w aus V darstellen:
Zitat:
Original von Panceco
Umgeformt ergibt sich daraus folgendes:


man sollte noch anmerken, dass dann .

am ende der argumentation noch sagen, dass wir vorrausgesetzt haben, dass linear unabhängig sind, dann sollte es passen.
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