Aufgaben zur Summe von iid ZVen

22.11.2010, 00:44	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zur Summe von iid ZVen Hallo! Ich habe eine kleine Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ iid Zufallsvariablen in $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} S_n := \sum_{j=0}^n X_j, \quad \mathcal S_n:=\sigma(S_n, S_{n+1}, S_{n+2},\cdots). \end{eqnarray}$ Zeige: (a) $\begin{eqnarray} \mathcal S_n = \sigma(S_n, X_{n+1},X_{n+2},\cdots) \end{eqnarray}$ , es genügt ( $\begin{eqnarray} \sigma(S_n,S_{n+1})=\sigma(S_n,X_{n+1}) \end{eqnarray}$ zu zeigen.) (b) $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1\mid \mathcal S_n) = \mathbb E(X_1\mid S_n) \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1\textbf 1_B(S_n)) = \mathbb E(X_j\textbf 1_B(S_n))\quad \forall j=1,\cdots, n \forall B \text{ Borelsch} \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_j\mid S_n) = \frac{S_n}{n}\quad \forall j=1,\cdots, n \end{eqnarray}$ (a) Fehlt mir komplett der Ansatz. (b) Da $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ unabhängig von allen $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ folgt mit den Eigenschaften der bedingten Erwartung: $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1\mid\mathcal S_n)=\mathbb E(X_1\mid \sigma(S_n, X_{n+1},\cdots)) = \mathbb E(X_1\mid \sigma(S_n)) = \mathbb E(X_1 \mid S_n). \end{eqnarray}$ (c) folgt dies nicht automatisch daraus, dass die ZVen unabhängig sind? (d) Wir sollen hier (c) verwenden und folgern, dass für alle j,k gilt: $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_j\mid S_n) = \mathbb E(X_k\mid S_n) \end{eqnarray}$ .
22.11.2010, 13:56	fnsr21	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage zur (d). Wie ist $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_j\mid S_n) = \frac{S_n}{n}\quad \forall j=1,\cdots, n \end{eqnarray}$ zu verstehen? Ist damit gemeint $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_1, \cdots, X_n\mid S_n) = \frac{S_n}{n} \end{eqnarray}$ oder etwas Anderes?
22.11.2010, 14:02	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, genau so wie es dasteht $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_j\mid S_n) = \frac{S_n}{n}\quad \forall j=1,\cdots, n \end{eqnarray}$ ist es zu verstehen. Sollte eigentlich leicht aus (c) sowie $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n \mathbb E\left( X_j \bigm\| S_n\right) = \mathbb E\left( \sum_{j=1}^n X_j \bigm\| S_n\right) = \mathbb E\left( S_n \bigm\| S_n\right) = S_n \end{eqnarray}$ folgen.

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