Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k |
| 22.11.2010, 10:20 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k Folgende beiden Sätze scheinen sich für mich zu widersprechen: SAtz 5.3: DIe Reihe von n =1 bis Unendlich 1/n geht gegen pos. unendlich Satz 5.4: Die Reihe von n=1 bis Unendlich 1/n^k konvergiert, falls k grßer/gleich 2 Beide Folgen im Nenner gehen doch gegen o. Warum passiert mit den Reihen dann was unterschiedliches? Kann ich für meine Aufgabe Satz 5.4 anwenden? Und dabei einfach vernachlässigen, dass k auch kleiner als 2 sein kann, was aber ja, wenn die Folge gegen UNendlich läuft unerheblich ist? |
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| 22.11.2010, 10:24 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k Satz 5.4 liefert Dir eine konvergente Majorante. |
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| 22.11.2010, 10:33 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k Majorante?? Das Majoranten-Kriterium haben wir schon gehabt, aber was hat das mit meiner Aufgabe zu tun? |
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| 22.11.2010, 10:38 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k
Och, nichts weiter - es liefert Dir nur (zusammen mit Satz 5.4) die Antwort auf Deine Frage. |
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| 22.11.2010, 10:42 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k Kannst Du mir erklären, wie ich das Majoranten-Kriterium hier anwenden kann? |
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| 22.11.2010, 10:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz der Reihe 1/(1+k)^k
Das gilt übrigens schon für k > 1.
Mit dieser grundlegenden Eigenschaft solltest du dich mal intensiver beschäftigen.
Ich denke, da solltest du mal eigene Ideen entwickeln. So schwer ist das nun auch wieder nicht. Falls du das mit der Majorante nicht haben möchtest, wäre noch das Wurzelkriterium zu empfehlen. |
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| 22.11.2010, 10:53 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aha, das heißt also, dass Der Betrag von der Folge 1/(1+k)^k ist kleiner/gleich der Folge 1/n^k ab n=(1+k) Aus Satz 5.4 wissen wir, dass 1/n^k konvergiert. Nach dem Majorantenkirterium muss dann auch 1/(1+k)^k konvergieren und zwar sogar absolut. Richtig? |
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| 22.11.2010, 11:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Prinzip ja, aber man muß etwas aufpassen. Bei ist k der Laufindex und bei ist es n. Machen wir bei der 1. Reihe auch n zum Laufindex, dann wollen wir haben. Und das ist der Fall für n >= k. |
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| 22.11.2010, 11:24 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber das mit den betragsstrichen funktioniert hier nicht. wenn man zum Beispiel -3 einsetzt, kommt links 8 raus und rechts (-3)^k. k muss kleiner als -3 sein,also zum Beispiel -4. Dann kommt rechts 1/(-3)^4 raus und das ist ja kleiner als 8.... IM Majorantenkriterium steht, dass unsere rechte Folge eigentlich aus nicht negativen reellen Zahlen bestehen soll. Aber da kann ich doch nicht einfach von ausgehen...??? |
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| 22.11.2010, 11:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich denke, es geht um ? Wo willst du denn da -3 einsetzen? 
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| 22.11.2010, 11:33 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ups, stimmt;-) danke... noch zum einer frage vom anfang: warum dieser unteschied zwischen den beiden sätzen? |
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| 22.11.2010, 11:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke, du solltest wissen, daß die harmonische Reihe divergiert und beispielsweise die Reihe über 1/k² konvergiert. Beweise findest du in jedem guten Analysis-Buch. |
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