Folge Wurzel 2

22.11.2010, 11:10

hexe 007

Folge Wurzel 2

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

ich muss eine exakte Formulierung und den Beweis zu

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zur exakten Formulierung habe ich den Ansatz, das als Folge zu formulieren mit:

$\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n} } \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 11:23

faulix

Auf diesen Beitrag antworten »

Rekrusivität ist hier mit Sicherheit angebracht.

Dein Ansatz ist meines Erachtens nach richtig, nur müsstest du völlständigkeitshalber noch n element N0 angeben.

22.11.2010, 13:03

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die gleiche Fragestellung bekommen Augenzwinkern

Bin auch auf die rekursive Definition der Folge gekommen.
Meine Frage oder Vermutung ist jetzt, dass man ja eigentlich noch zeigen muss dass die Folge gegen 2 konvergiert, oder?

22.11.2010, 13:15

faulix

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Funktioniert genau wie bei der anderen rekrusiven Aufgabe. 2 als obere Schranken ansetzen und per vollständigen Induktion beweisen.

22.11.2010, 13:28

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Folge Wurzel 2

Zitat:

Original von hexe 007
Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Du hast also die Rekursion $\begin{eqnarray*} a_0:=0,~a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} \end{eqnarray*}$

Die Beschränktheit nach unten ist trivial und die Beschränktheit nach oben offenbart sich wenn Du in

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} \end{eqnarray*}$

die letzte 2 unter der Wurzel einfach mal gedanklich durch 4 ersetzt.

Formal beweisen kannst Du Beschränktheit - wie auch die Isotonie - mit vollständiger Induktion.
Ist die Konvergenzfrage geklärt kannst Du den Grenzwert leicht aus der Rekursionsgleichung berechnen.

22.11.2010, 13:32

faulix

Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ kann man den Grenzwert auch anders "berechnen".
Man zeigt, dass die Folge monoton wachsend ist (a(n+1)>=a(n)). Da man bereits die obere Schranke mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen hat muss somit die obere Schranke auch der Grenzwert sein.

22.11.2010, 13:35

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die obere Schranke gibt es nicht. $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 17^4 \end{eqnarray*}$ sind z.B. auch obere Schranken.

Den Grenzwert berechnet man meistens durch Anwendung der Grenzwertsätze auf die Rekursionsformel. Dafür muss aber - wie gesagt - zuvor die Konvergenzfrage geklärt werden, da die GWS sonst nicht anwendbar sind.

22.11.2010, 13:45

faulix

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann eben das Supremum, das Supremum kann durchaus der Grenzwert sein.

22.11.2010, 13:50

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst Du allerdings zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke gibt.
Das ist ja so ohne weiteres nicht klar.
Da wird es wohl einfacher sein den von mir bereits angedeuteten Weg einzuschlagen.

22.11.2010, 17:26

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

so ich habe eure ratschläge mal befolgt und es durchgerechnet. bin mir aber an einigen stellen noch nen bisschen unsicher.

Zuerst habe ich nachgewiesen, dass die Folge nach oben beschränkt ist (Eine obere Schranke = 2)

Induktion:
I.A. n=0, a(0)=0 < 2
I.V. Für ein n element N gelte an < 2
I.S. n --> n+1
$\begin{eqnarray*} a_{n}= \sqrt{2+a_{n} } < 2 \end{eqnarray*}$
(hier weiß ich nicht, ob das so schreiben?!)

Dann habe ich nachgewiesen, dass die Folge monoton wachsend ist:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2+a_{n} } \geq a_{n} weil a_{n} < 2 \end{eqnarray*}$
(auch hier meine Frage: reicht das als begründung?)

=> Die Folge ist also nach oben beschränkt und monoton wachsend, sie strebt also gegen einen Grenzwert den ich über rekursive Definition der Folge bekomme. Nach meiner Rechnung ist das 2.

Neue Frage »

Antworten »

Folge Wurzel 2

Verwandte Themen