Vektorraum und Mengen (Köln B6 A1)

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Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum und Mengen (Köln B6 A1)
Sei V := Abb(R;R) die Menge aller Abbildungen f : R -> R. Zeigen Sie
:
(a) V wird zu einem Vektorraum, wenn man und für
de niert durch




(b) Die Mengen

U := {f \in V : \forall x \in \mathbb R : f (-x) = -f(x)}
sind Untervektorräume von V und es gilt V = G + U. (Die Abbildungen
in G heißen gerade, die in U ungerade.)


Überlegung

in a kann ich einfach auf zurück greifen.

also


und die anderen halt genauso...

aber die 2 lässt mich noch ein wenig ratlos.

kann mir jemand ein tipp geben?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also das es sich um Unterräume handelt, lässt sich ja schnell durch die Unterraumkriterien nachweisen. Für zweiteres musst Du zeigen, dass man jede Funktion als Summe einer geraden- und ungeraden Funktion darstellen kann. Sei f eine Funktion, schau dir mal die zwei Funktionen





Damit das Ganze eine Direkte Summe wird, muss Du noch zeigen, dass der Durchschnitt der beiden Untervektorräume die Menge ist, die nur Nullfunktion enthält.
curo Auf diesen Beitrag antworten »

wie sieht die Nullfunktion eigentlich aus
f(x)=0*x
oder f(0)=0
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

wie sieht die Nullfunktion eigentlich aus
f(x)=0*x
oder f(0)=0


Die Nullfunktion ordnet jedem x die 0 zu, also ist f(x) = 0. Die Darstellung ist natürlich nicht eindeutig

curo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur 2) soll ich das irgendwie mit der Quantorenschreibweise beweisen? (Den Schnitt)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen, dass die einzige ungerade und zugleich gerade Funktion die Nullfunktion ist.
 
 
Zero00000 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) ich muss doch noch beweisen, dass v eine abelsche gruppe ist oder? schließlich sollen wir ja zeigen, dass v zum vektorraum wird.

zu b) kann ich hier nicht erstmal nachweisen, dass G und U unterräume sind? Z.B. durch die Def (abgeschlossenheißt von addition und multiplikation).
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