Konvergenzbeweis und Grenzwertbildung einer Reihe

22.11.2010, 12:48

faulix

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Konvergenzbeweis und Grenzwertbildung einer Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Das habe ich anschließend in folgendes umgewandelt:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{\pi e} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} \end{eqnarray*}$

Die Reihe ist dann eine geometrische Reihe deren Basis als Betrag kleiner als 1 ist und somit habe ich einfach die Formel für die Summe der Potenzreihen angewendet und folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{e(\pi+1)} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Und durch die geometrische Reihe ist auch automatisch die Konvergenz bewiesen oder?

22.11.2010, 12:52

Manni Feinbein

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbildung einer Reihe
Pass auf den Laufindex auf!

Betrachte besser:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac {(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac {(-e)^n}{\pi^{n+2}} \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 12:53

klarsoweit

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RE: Konvergenzbeweis und Grenzwertbildung einer Reihe

Zitat:

Original von faulix
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{e(\pi+1)} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Nein. Poste mal deine Rechnung.

Zitat:

Original von faulix
Und durch die geometrische Reihe ist auch automatisch die Konvergenz bewiesen oder?

Ja.

22.11.2010, 12:58

faulix

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Ich habe das so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n+1} }<br /> = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-e)^{n}}{(-e) \pi \pi^{n} }<br /> = \frac{-1}{\pi e} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 13:02

klarsoweit

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Bis dahin habe ich auch nichts einzuwenden.

22.11.2010, 13:06

WD25

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kann mir jemand sagen wie man im 2Schritt von faulix rechnung auf
dieses pi * pi hoch n kommt.

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22.11.2010, 13:11

klarsoweit

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Potenzrechnung 7. oder 8. Schuljahr: $\begin{eqnarray*} a \cdot a^n = a^{n+1} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2010, 13:13

faulix

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Hab einen Fehler gefunden, aber viel ändert der nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{\pi e} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} = \frac{-1}{\pi e} * \frac{1}{1 - \frac{-e}{\pi } }<br /> = \frac{-1}{\pi e} * \frac{1}{\frac{\pi + e}{\pi }}<br /> = \frac{-1}{\pi e} * \frac{\pi }{\pi + e}<br /> = - \frac{\pi }{\pi e (\pi + e)}<br /> = - \frac{1}{e(e+\pi )} \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 13:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von faulix
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{\pi e} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} \end{eqnarray*}$

Der Limes vor der Summe ist überflüssig, wenn schon das unendlich als obere Grenze in der Summe steht.

Außerdem ist nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{-e}{\pi } } \end{eqnarray*}$

Das war der Hintergrund vom Hinweis von Manni Feinbein. Bei der geometrischen Reihe muß man immer aufpassen, was der erste Summand ist.

22.11.2010, 13:20

faulix

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Ach diese Formel ist nur gültig, wenn die Laufvariable bei 0 startet?

22.11.2010, 13:21

klarsoweit

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Genau!

22.11.2010, 13:25

faulix

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Ok, wieder etwas gelernt, super. Wäre ansonsten zu 100% ein typischer Fehler in der Klausur geworden.

Also ist der Grenzwert 1/(pi * e) ?

22.11.2010, 13:25

klarsoweit

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Nein, auch das ist falsch.

22.11.2010, 13:28

faulix

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Ich ziehe 1/pi vor die Reihe und habe ansonsten den gleichen Reihenausdruck wie vorher (abgesehen vom Startindizie). Nun die Summenformel von geometrischen Reihen angewendet und ich erhalte wieder 1/pi * pi/(pi+e). pi kürzt sich raus und 1/(pi+e) bleibt übrig oder wo habe ich wieder einen Fehler gemacht?

22.11.2010, 13:34

klarsoweit

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Verstehe jetzt nicht, was du gemacht hast. Du hast ein $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{\pi e} \end{eqnarray*}$ vor der Summe und der Fehler liegt bei der Anwendung der Summenformel auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 13:43

faulix

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Ich habe den Startwert auf n=0 geändert. Nebenbei noch einen kleinen Fehler gefunden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n} = \frac{1}{\pi^2} * \frac{1}{1 - \frac{-e}{\pi } }<br /> = \frac{1}{\pi^2} * \frac{1}{\frac{\pi + e}{\pi }}<br /> = \frac{1}{\pi^2} * \frac{\pi }{\pi + e}<br /> = \frac{1}{\pi(e+\pi )} \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 13:53

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von faulix
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi^2}\sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{-e}{\pi})^{n}= \frac{1}{\pi(e+\pi )} \end{eqnarray*}$

Das stimt!

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