Folgende Mengen sind Unterräume

22.11.2010, 14:10	curo	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgende Mengen sind Unterräume Meine Frage: Hi Leute, ich hoffe ihr könnt mir helfen. Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} := \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Abb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray} f : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Die Mengen $\begin{eqnarray} G:= \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} :f(-x)=f(x) \end{eqnarray}$ } $\begin{eqnarray} U:= \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} :f(-x)=-f(x) \end{eqnarray}$ } sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} V = G \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . (Die Abbildungen in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ heißen gerade, die in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ungerade.) Meine Ideen: Nun wir müssen zweierlei Dinge zeigen. 1. Ich muss zeigen, dass es a) sich nicht um Leere Mengen handelt. b) die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition im Vektorraum. c) die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation eines Skalaren der Reellen Zahlen (in diesem Fall). 2. Da es sich hier um eine Direkte Summe handelt, müssen wir zeigen dass $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U=0 \end{eqnarray}$ (Nullvektor) sein muss. Zur 1) Da unser Körper die Reellen Zahlen sind, kann ich dann zu a) einfach schreiben das es sich nicht um eine leere Menge handeln kann, weil ja $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ abgebildet wird, wodurch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eigentlich auch eine reelle Zahl ist und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} := \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Abb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ (reicht das so?) zu b,c) einfach schreiben dass die Abgeschlossenheit der Addition und der Multiplikation klar ist, bin mir aber nicht so ganz sicher wie ich das aufs Papier bekomme. Kann ich es irgendwie so zeigen b) $\begin{eqnarray} ( \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2}(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +f_{2}(x) \end{eqnarray}$ nach Definition der Addition in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , daher ist die Abgeschlossenheit erfüllt c) $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=(z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f)(x) \end{eqnarray}$ nach Def. der Multiplikation in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit einem Skalar aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (Körper) $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V: \end{eqnarray}$ die Multiplikation ist abgeschlossen, da $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl ist und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} := \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Abb \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ . Zur 2) soll ich das irgendwie mit der Quantorenschreibweise beweisen?
22.11.2010, 14:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
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