Länge einer Strecke in abhängigkeit von X

22.11.2010, 14:56

bonnieclyde2

Länge einer Strecke in abhängigkeit von X

Meine Frage:
Geg.:
Pn ( x | -x² + 4x )
Qn ( 2x | -x² + 2x -1 )

Ges.:
_____
Pn Qn

Meine Ideen:
Ich wende folgende Formel an:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (xb - xa)² + (yb - ya)² } \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (2x - x)² + [(-x² + 2x - 1) - ( -x² + 4x)]² } \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 15:15

Jodas

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Hallo.

Das ist so schon okay. Es wäre aber sicher hilfreich, wenn du dein Ergebnis noch etwas vereinfachst, indem du zunächst die inneren Ausdrücke zusammenrechnest und dann quadrierst und daraufhin abermals zusammenfasst.

MfG, Jodas

22.11.2010, 15:19

Lampe16

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Ich vermute, Ihr müsst im zweiten Polynom Qn x durch 2x substituieren. Dann macht die Aufgabe auch mehr Sinn.

22.11.2010, 15:29

bonnieclyde2

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Zitat:

Original von Jodas
Hallo.

Das ist so schon okay. Es wäre aber sicher hilfreich, wenn du dein Ergebnis noch etwas vereinfachst, indem du zunächst die inneren Ausdrücke zusammenrechnest und dann quadrierst und daraufhin abermals zusammenfasst.

MfG, Jodas

Hoffe mal ich habe das in etwa richtig gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x² + [-2x² - 2x -1]²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x² + (-2x²)² - 4x² - 1} | wurzeln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x² - 3x - 1 \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 15:38

Jodas

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Leider haben sich da noch einige Fehler eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} [(-x² + 2x - 1) - ( -x² + 4x)]² = [-2x -1]^2 = 4x^2 +4x +1 \end{eqnarray*}$

Und beachte, dass du aus Summen keine Wurzel ziehen darfst. Du kannst dein Endergebnis ja nochmal zur Kontrolle posten

22.11.2010, 15:49

bonnieclyde2

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Naja so 100% verstehe ich das ganze jetzt nicht, aber bleibt dann einfach die Wurzel stehen? In etwa so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x² + 4x + 1} \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 16:09

Lampe16

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Mein Ergebnis ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9x^4+7x^2+1}, \end{eqnarray*}$
weil ich
Qn ( 2x... |
statt
Qn ( x |...
beachtet habe.

22.11.2010, 16:10

Jodas

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Ja, das hab ich auch raus, also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 5x^2 + 4x +1} \end{eqnarray*}$

Welchen Schritt verstehst du denn nicht?
Beachte vielleicht zusätzlich, dass du beim Quadrieren von Summen nicht einfach jedes einzelne Element quadrieren kannst, sondern zb gilt:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b) = a^2 + 2ab + b^2 \end{eqnarray*}$

(binomische Formel) oder

$\begin{eqnarray*} (a+b+c)^2 = (a+b+c)\cdot(a+b+c) = a^2 + ab + ac + \ldots \end{eqnarray*}$

Diesen Fehler scheinst du mir vorhin auch gemacht zu haben.

22.11.2010, 16:21

Jodas

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Zitat:

Original von Lampe16
Mein Ergebnis ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9x^4+7x^2+1}, \end{eqnarray*}$
weil ich
Qn ( 2x... |
statt
Qn ( x |...
beachtet habe.

Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst. Das "2x" wurde doch bereits beachtet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (\underbrace{2x-x}_{\mbox{hier!}})^2 + [(-x² + 2x - 1) - ( -x² + 4x)]² } \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 16:23

Lampe16

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@Jodas
Nachdem ich schreibe

Zitat:

Original von Lampe16

Mein Ergebnis ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9x^4+7x^2+1}, \end{eqnarray*}$

schreibst Du

Zitat:

Original von Jodas
Ja, das hab ich auch raus, also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 5x^2 + 4x +1} \end{eqnarray*}$

Das versteheich nicht.

22.11.2010, 16:26

Jodas

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Das hab ich auch raus, bezog sich auf diesen Beitrag:

Zitat:

Original von bonnieclyde2
Naja so 100% verstehe ich das ganze jetzt nicht, aber bleibt dann einfach die Wurzel stehen? In etwa so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x² + 4x + 1} \end{eqnarray*}$

Deswegen hab ich Lösung nochmal angegeben, damit das nicht für Verwirrung sorgt.

22.11.2010, 16:28

Lampe16

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Zitat:

Original von Jodas

Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst. Das "2x" wurde doch bereits beachtet:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (\underbrace{2x-x}_{\mbox{hier!}})^2 + [(-x² + 2x - 1) - ( -x² + 4x)]² } \end{eqnarray*}$

Ja, bei der x-Differenz schon, aber nicht bei der y-Differenz. Für Qn ist das Polynom beim Argument 2x auszuwerten.

22.11.2010, 16:33

Jodas

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Könnte tatsächlich so gemeint sein, dann wäre die Angabe das Punktes aber nicht richtig. Es müsste dort sowas stehen wie:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -x² + 2x -1 \end{eqnarray*}$

und dann

Q(2x / f(2x)).
Daher gehe ich davon aus, dass das nicht nötig ist.

22.11.2010, 16:43

Lampe16

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So wie Du es aufgefasst hast, geht es vielleicht auch. Aber dann liegt die Strecke, deren Länge hier ausgerechnet werden soll, parallel zur y-Achse. Dann gibt es keinen Grund mehr, die x-Differenz per Pythagoras dazu zu nehmen.

edit
Du hast auf jeden Fall recht, dass die Aufgabe nicht ordentlich gestellt ist. Leider liegt das sehr oft an den Mathebüchern, manchmal natürlich auch beim Fragesteller.

22.11.2010, 16:49

Jodas

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Ich bin einfach von der wörtlichen Aufgabenstellung ausgegangen, nämlich, dass wir zwei Punkte haben, die von einem Paramter abhängen,
(und nicht zwingend auf einer Funktion liegen, die erst auszuwerten wäre) nämlich:
Pn ( t | -t² + 4t)
Qn ( 2t | -t² + 2t -1)

Und diese beiden Punkte sind zumindest nicht parallel zur y-Achse.

Aber ich will nicht ausschließen, dass du es richtig auffasst und der Aufgabentext evtl falsch verfasst wurde. Steht es allerdings genau so dort, würde ich das so verstehen.

EDIT
Wir einigen uns auf eine etwas zweideutige Aufgabenstellung. Big Laugh

Vielleicht schaut der Fragensteller nochmal genauer, wie es dort wörtlich steht.

22.11.2010, 17:09

bonnieclyde2

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Mir ist gerade aufgefallen, dass zu dieser Aufgabe Lösungen in meinem Mathebuch vorhanden sind. Dort ist folgenden Lösung angegeben:

Zitat:

Original von Jodas
Ja, das hab ich auch raus, also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ 5x^2 + 4x +1} \end{eqnarray*}$

(...)

Um das ganze etwas aufzuklären schreibe ich mal einen Teil der Angaben ab:

5.0
Gegeben sind die Funktionen:
f1: $\begin{eqnarray*} y = -x² + 4x \end{eqnarray*}$ (Graph p1)
f2: $\begin{eqnarray*} y = -0,25x² + x -1 \end{eqnarray*}$ (Graph p2)

...

5.5
Die Punkte $\begin{eqnarray*} Pn \in p1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Qn \in p2 \end{eqnarray*}$ sind Endpunkte von Strecken $\begin{eqnarray*} [Pn Qn] \end{eqnarray*}$ . Die Abszisse von $\begin{eqnarray*} Qn \end{eqnarray*}$ hat den doppelten Wert der Abszisse x von $\begin{eqnarray*} Pn \end{eqnarray*}$ .

5.7
Stelle die Koordinaten der Punkte $\begin{eqnarray*} Qn \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von der Abszisse x dar.
Lösung:
$\begin{eqnarray*} Pn ( x | -x² + 4x ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Qn ( 2x | -x² + 2x -1 ) \end{eqnarray*}$

5.8
Berechne (Länge der Strecke) $\begin{eqnarray*} PnQn \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeitn von x.

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