Eulersche Zahl |
22.11.2010, 15:04 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eulersche Zahl gegeben. Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Folge konvergiert und dass gilt. Dieser Limes ist als Eulersche Zahl e bekannt. (a) Sei bn die Summe In der Vorlesung haben wir schon gesehen, dass die Folge () konvergiert. Zeigen Sie, dass für alle gilt. Hinweis: Schreiben Sie an mithilfe des Binomischen Lehrsatzes als Reihe und schätzen Sie die Reihenglieder geeignet gegen die Reihenglieder von ab. (b) Zeigen Sie, dass die Folge () monoton wachsend ist. Schlussfolgern Sie, dass die Folge () konvergiert. Hinweis: Sie können zum Beispiel zeigen, dass äquivalent zur Ungleichung: ist. Zum Überprüfen dieser Ungleichung hilft es Ihnen, die Bernoullische Ungleichung für den Ausdruck auf der linken Seite zu verwenden. (c) Zeigen Sie, dass für die folgende Ungleichung erfüllt ist: (d) Sei nun der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung in (c). Zeigen Sie, dass konvergiert und gilt. Zeigen Sie schließlich, dass gilt. Ich muss obige Aufgaben bearbeiten, und habe da so meine Probleme mit. Ich fange erstmal mit a) an Ich muss also zeigen das Jetzt kommt der Teil mit der Abschätzung was ich nicht ganz verstehe kann ich folgendes machen ? Es gilt doch (?): usw... |
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22.11.2010, 15:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Das ist ok. Man kann aber auch zur Vollständigkeit die Ungleichung mit vollständiger Induktion zeigen. |
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22.11.2010, 16:28 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komme ich also zur b) Ich will zunächst zeigen das Ich weiss absolut nicht wie das äquivalent zu sein kann. Habe versucht die Bernoulli-Ungleichung auf den a_{n+1} anzuwenden, das hilft mir allerdings nicht weiter: |
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22.11.2010, 18:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zeige, daß ist. Dazu mußt du etwas umformen, bis man die Bernoulli-Ungleichung anwenden kann. Ich muß aber zugeben, daß der Hinweis etwas merkwürdig ist. |
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23.11.2010, 13:08 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank so klappt's. Bin jetzt bei der c) Erstmal muss das nicht eigentlich so lauten: Ich würde dann eine Induktion über n versuchen: n=m=1 gilt. n->n+1 (?) und dann die Reihenglieder gegen a_{n+1} im Lehrsatz eingesetzt abschätzen. |
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23.11.2010, 13:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde sogar dies behaupten: Im Prinzip ergibt sich dies direkt aus der Monotonie von a_n, denn es ist: |
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23.11.2010, 15:11 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Hallo zusammen, ich muss auch die Aufgabe bearbeiten und frage mich, wie die Zeile zustande kommt: Gibt's da ne Rechenregel? |
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23.11.2010, 15:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Das ist ganz einfach mal die Summanden von einzeln aufgeschrieben. Allerdings ist |
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23.11.2010, 16:47 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Konvergenz vonwurde schon ja schon in a) gezeigt. Dann reicht es ja für d) nur noch zeigen. Da ist ja dann auch Kommt mir irgendwie merkwürdig vor |
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23.11.2010, 17:37 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(???) |
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24.11.2010, 20:39 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl
Ich weiß, dass das wahrscheinlich keine uniangenemessene frage ist, aber kann mir jemand mal genau erklären, wich das mit dem "ganz einfach die summanden" aufschreiben hinkriege? habe so meine probleme bei fakultäten und finde auch nirgendwo ne übresicht zu rechenregeln... zum beipiel weiß cih schon gar nicht, wie ich auf die 2 am anfang komme... |
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25.11.2010, 09:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl
In der Tat. Das Abitur ist auch nicht mehr das, was es früher war. Einfach mal den Stift nehmen und mal losrechnen. In den Sessel zurücklehnen und sagen "Leute rechnet mal für mich." ist natürlich einfacher. |
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25.11.2010, 19:07 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Ich versuche ja das nachzuvollziehen und rechne auch selbst, aber es klappt nicht. Hab mir jetzte mal bei Wikipedia sämtliche Rechenregeln angeschaut und kann die ersten zwei schritte also nachvollziehen, aber dann käme bei mir: n!/2!*(n-2)! * 1/n^2 So ist doch die Formel. Woher kommt das (n-1) im Zähler und warum muss man nicht weiter runter zählen? Und wo ist das n aus dem Nenner hin? |
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25.11.2010, 19:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Weil man in die meisten Faktoren rauskürzen kann. Schreibe mal auf was n! bzw. (n-2)! bedeutet. |
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25.11.2010, 19:44 | isa85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl Für mich wäre das logisch: zB 3!:3 (3-1)(3-2) oder 4!: 4(4-1)(4-2)(4-3) n!: (n)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4).... Woher weiß ich denn, wann ich aufhören muss? und (n-2)!: (n-2)(n-3)(n-4)(n-5)..... Aber das scheint ja nicht zu stimmen.... |
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25.11.2010, 19:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eulersche Zahl
Wenn der letzte Faktor = 1 ist.
Im Gegenteil, das ist alles ok. |
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26.12.2010, 18:50 | Bier17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab versucht die linke seite umzuformen, so dass irgendwie etwas in der form rauskommt, aber das kommen nur doppelbrüche raus und von ner 1 ist wenig zu sehen. |
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27.12.2010, 09:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie ich in dem anderen Thread schon sagte: mehr Phantasie ist gefragt: Jetzt kannst du auf den vorderen Faktor die Bernoulli-Ungleichung anwenden. |
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28.12.2010, 03:02 | Bier17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke, habs nun. |
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