Bestimmung einer Basis zum Untervektorraum |
| 22.11.2010, 15:28 | Malibou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestimmung einer Basis zum Untervektorraum die Aufgabe lautet: Bestimmen sie eine Basis des Untervektorraums des R-Vektorraum R^5, der durch die nachfolgenden Vektoren erzeugt wird: v1=(1,-9,6,-8,-6) v2=(-2,4,1,3,2) v3= (1,4,-5,2,3) v4= (0,1,-2,3,1) v5=(-4,9,0,9,5). Meine Ideen sind: Zu überprüfen ob die Vektoren paarweise linear unabhänig sind. Mein Ziel ist es ja ,um eine Basis zu erstellen, 5 linear unabhänige Vektoren zu finden? Wenn v1,..,v5 linear unabhänig sind hätte ich dann eine Basis. Oder ist das mit der Anzhal der Vekotren beim Untervektorraum anders? Danke für eure Mühe. |
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| 22.11.2010, 15:30 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es kann durchaus sein, dass alle 5 Vektoren linear abhängig sind. Du musst aus den 5 Vektoren die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren auswählen. Diese Bilden dann die Basis des Unterraums. Die Dimension des Raums ist dann gleich der Anzahl der Basisvektoren. |
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| 22.11.2010, 15:40 | Malibou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die schnelle Antwort 
Kann ich die Vektoren denn paarweise überprüfuen oder muss ich dann Gleichungssysteme aufstellen mit bsp. 0v=v1*a+v2*b+v3*c usw? Die Begründung durch Matrizen habe ich leider noch nicht nachvollziehen können. |
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| 22.11.2010, 15:42 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein kannst Du nicht, die Vektoren (1,0), (0,1),(1,1) sind alle paarweise linear unabhängig, aber alle 3 sind linear abhängig. Aber wenn Du schon 2 linear unabhängige gefunden hast, musst Du nur noch schauen ob die 2 mit anderen linear unabhängig sind oder nicht. |
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| 22.11.2010, 16:02 | Malibou | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch meine Rechnung sind jetzt v1 und v2 linear unabhänig, wie soll ich jetzt vorgehen ich weiss nicht genau was du mit dem letzten Teil meinst, wie ich das überprüfen soll. Mir fällt da nur ein 0=v1*a+v2*b+v3*c und wenn das dann lin. u. dann 0=v1*a+v2*b+v3*c+v4*d usw.. wobei das anscheinend viel zu rechnen ist. |
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| 22.11.2010, 16:05 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein wenig Rechenaufwand ist schon dabei, aber v1 und v2 sind linear unabhängig. Du schaust jetzt ob v_1,v2,v3 v_1,v2,v4 v_1,v2,v5 linear unabhängig sind. Wenn ja, dann wiederholen mit 4 Vektoren, wenn nein, bist Du fertig. Alternativ kannst Du den Rang der Matrix bestimmen, die entsteht, wenn Du die Vektoren als Matrix schreibst. Damit bekommst Du die Anzahl die Du wählen musst. |
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| 22.11.2010, 16:20 | flager | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
könnte man nicht einfach eine basis von R^5 mit den vektoren B=((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)) nehmen, weil dieses doch eine basis für r^5 ist und somit auch für alle unterräume oder ? |
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| 22.11.2010, 16:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein kannst Du nicht. Diese 5 Vektoren bilden eine Basis des R^5, aber nicht des Unterraumes. Es muss nicht mal gelten, dass überhaupt einer dieser Vektoren im Unterraum liegt. Betrachte als Beispiel etwa den Unterraum des R^5 Dann liegt keiner der 5 Vektoren die Du aufgeschrieben hast in dem Unterraum U. Daher musst Du so vorgehen wie hier beschrieben. |
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