Aufgabe mit Wahrscheinlichkeitsmaß -

22.11.2010, 18:52

ravernet

Aufgabe mit Wahrscheinlichkeitsmaß -

Hallo, habe hier eine zu lösende Aufgabe erhalten und bin momentan etwas verzweifelt, da ich keine Ahnung habe, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.

Hier die Aufgabe:

Gegeben sei N5 ={1; 2; 3; 4; 5} und das diskrete Maß P auf N5 mit
P({1}) = 1/4
P({2}) = 2/15
P({3}) = 1/3
P({4}) = 1/12

und
P({5}) = 1/5
.
Weiterhin sei X : N5 -> N4 = {1; 2; 3; 4} gegeben durch X(1) = 3 ; X(2) = 3;
X(3) = 2; X(4) = 2; sowie X(5) = 1.

a) Zeigen Sie, dass P ein W-Maß ist.

b) Geben Sie die Urbilder
X^-1 ({1}) ; X^-1 ({3})
und X({4}) an.

Ich weiß leider nichtmal, wie ich Aufgabe a) zeigen soll, geschweige denn wie ich Aufgabe b) beginnen soll.

Wäre super, wenn mir jemand einen hilfreichen Ansatz zu dieser Aufgabe sagen könnte.

Mfg Alex

22.11.2010, 21:24

Jodas

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Nun, die Abbildung P wäre gerade ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß, falls für die Summe

$\begin{eqnarray*} P(\{1\})+\ldots+P((\{5\}) = 1 \end{eqnarray*}$

gilt. Das musst du nun überprüfen.

Zum Thema Urbilder: Nach Definition deiner Zufallsvariablen gilt ja zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} X(1) = 3. \end{eqnarray*}$

Demnach ist das Urbild

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(3) = 1. \end{eqnarray*}$

Ich denke den Rest bekommst du nun selber hin.
Viele Grüße, Dester

22.11.2010, 22:41

ravernet

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Hallo Jodas,

ich danke dir für deine schnelle Antwort.

Wenn man wie ich wenig Ahnung von dieser Aufgabe hat, wird eine selbst so einfache Lösung zur Lebensaufgabe. Wie das laut dir aussieht ist diese Aufgabe jedoch ziemlich einfach, denke den Rest werde ich alleine hinkriegen, danke.

Mfg Alex

22.11.2010, 22:48

René Gruber

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Zitat:

Original von Jodas
Demnach ist das Urbild

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(3) = 1. \end{eqnarray*}$

Nein: Beim Urbild musst du alle (!) Argumente $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X(\omega)=3 \end{eqnarray*}$ erfassen, nicht nur eins.

$\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ ist damit auch keine Punkt-, sondern Mengenabbildung, konkret ist z.B.

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{3\}) = \{1,2\} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 23:05

Jodas

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Sicher du hast recht. Das war aus meinem kleinen Beispiel noch nicht ersichtlich.

22.11.2010, 23:15

René Gruber

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Es war nicht ein kleines Beispiel, es war eine falsche Folgerung. Tut mir leid, das so deutlich benennen zu müssen, aber es soll ja nichts falsches bei ravernet ankommen. Augenzwinkern

23.11.2010, 07:33

ravernet

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Zitat:

Original von René Gruber

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{3\}) = \{1,2\} \end{eqnarray*}$ .

Hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden.....

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{1\})= \{5\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{4\}) = \{leere Menge\} \end{eqnarray*}$

?

Oder bin ich abermals in der falschen Richtung unterwegs ?

Ich danke euch schonmal.

Alex

23.11.2010, 08:56

René Gruber

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Genauso ist es. Obwohl es von der Form her üblicher ist,

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{4\}) = \{\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X^{-1}(\{4\}) = \emptyset \end{eqnarray*}$

zu schreiben. Augenzwinkern

23.11.2010, 16:10

ravernet

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Hallo,

ich danke euch für eure schnelle Hilfe, hab die Aufgabe endlich verstanden.

Mfg Alex

25.11.2010, 23:23

Math1986

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@ravernet: Ich empfehle dir, dir die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes nochmal durchzulesen

Zitat:

Original von Jodas
Nun, die Abbildung P wäre gerade ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß, falls für die Summe

$\begin{eqnarray*} P(\{1\})+\ldots+P((\{5\}) = 1 \end{eqnarray*}$

gilt. Das musst du nun überprüfen.

Formal muss man noch "zeigen", dass alle Werte in [0,1] liegen smile

und, BTW, nochmal zur Notation der leeren Menge: {leere Menge} ist sogar falsch, das meint die Menge, die nur aus der leeren Menge besteht... (bitte bitte nicht angewöhnen)

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