Menge K ist ein Körper

22.11.2010, 18:58

Memoria

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Menge K ist ein Körper

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet: Es wäre möglich zu zeigen, dass die Menge K:= {n+q $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ |a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ "Rationale Zahlen"} $\begin{eqnarray*} \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezüglich der Addition und Multiplikation reeller Zahlen ein Körper ist.
Zu zu zeigen ist nur, dass jedes 0 $\begin{eqnarray*} \neq x\in K \end{eqnarray*}$ multiplikativ invertierbar ist. Was genau muss ich jetzt beweisen? Wie ich die Körperaxiome prüfe weiß ich aber soll man das hier überhaupt?? bitte dringend um hilfe.....

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} wie genau beiweise ich das Inverse bzgl der Multiplikation? Meine Ansätze:<br /> (K /{0},\cdot ,1)<br /> Sei z\in K mit z=n+p\sqrt{5} mit n,p \in "Rat.Zahlen" und w\in K mit w=x+y\sqrt{5} mit x,y \in "Rat.Zahlen".<br /> Also: z\cdot w\Rightarrow (n+p\sqrt{5})\cdot (x+y\sqrt{5})= 1\Rightarrow (x+y\sqrt{5})= \frac{1}{(a+b\sqrt{5}) } \end{eqnarray*}$ und weiter komme ich nicht??? wie soll ich also zeigen, dass das gilt mit dem Inversen 1??????

22.11.2010, 19:01

Ibn Batuta

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Du wählst dir ein $\begin{eqnarray*} x \in K \end{eqnarray*}$ aus und zeigst, daß es ein Inverses bezüglich der Multiplikation hat.

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:04

Memoria

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also ja das weiß ich ja. ich habe ein z element K und ein w element K genommen....dann z*w gemacht und für z= n+pwurzel5 und w=x+ywurzel5

dann z*w mit diesen gleichungen aufgeschrieben aber ich weiß nicht nach was ich das auflössen muss...was genau soll ich zeigen...??

und ich habe ja die Aufg.stellung aufgeschrieben, weißt du was genau zu zeigen ist??

22.11.2010, 19:10

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
weißt du was genau zu zeigen ist??

Ja, klar.

Zitat:

Original von Memoria
also ja das weiß ich ja. ich habe ein z element K und ein w element K genommen....dann z*w gemacht und für z= n+pwurzel5 und w=x+ywurzel5

Was erhoffst du dir dadurch?

Zitat:

Original von Memoria
dann z*w mit diesen gleichungen aufgeschrieben aber ich weiß nicht nach was ich das auflössen muss...was genau soll ich zeigen...??

Du sollst zeigen, daß $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ das multiplikative Inverse zu $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist. Empfehlenswert ist, daß man davor gezeigt hat, daß $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Multiplikation ist.

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:13

Memoria

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ahhhhhhhh

Big Laugh

Big Laugh

ich habe das natürlich gleich eins gesetzt ssorry vergessen mit aufzuschreiben smile

smile

also z*w=1 habe ich gemacht aber ich komme da nicht auf einen grünen zweig.....
dann habe ich ja w= 1/z und ich weiß einfach ncht ob das dann schon die lsg ist???

und muss ich die körperaxiome für diese aufgabenstellung alle beweisen? weil da steht ja "es ist möglich zu zeigen...zu zeigen ist nur"

22.11.2010, 19:17

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
ahhhhhhhh Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

ich habe das natürlich gleich eins gesetzt ssorry vergessen mit aufzuschreiben smile

smile

also z*w=1 habe ich gemacht aber ich komme da nicht auf einen grünen zweig.....
dann habe ich ja w= 1/z und ich weiß einfach ncht ob das dann schon die lsg ist???

Du mußt noch zeigen, daß das auch in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Original von Memoria
und muss ich die körperaxiome für diese aufgabenstellung alle beweisen? weil da steht ja "es ist möglich zu zeigen...zu zeigen ist nur"

Finde die Aufgabenstellung komisch. Eigentlich müßte man alle Körperaxiome prüfen, aber wenn bei eurer Aufgabenstellung dasteht, daß man nur das multiplikative Inverse zeigen soll... Dann zeige nur das multiplikative Inverse.

Ibn Batuta

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22.11.2010, 19:21

Memoria

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ja aber wie zeige ich denn dass das in K liegt??? und wie würde ich zeigen ,dass die Menge element "Reelle Zahlen" ist??

Ja das steht nur Überprüfen Sie nur, dass 0 ungleich x element K multiplikativ invertierbar ist.....

ABER ICH VERSTEHE DIESE AUSSAGE GAR NICHT....also wie würde man das denn zeigen..???

Danke Ibn Batuta für die schnelle Hilfe smile

smile

22.11.2010, 19:26

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
ja aber wie zeige ich denn dass das in K liegt???

$\begin{eqnarray*} z,w \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z\cdot w = 1. \end{eqnarray*}$
Setze doch für $\begin{eqnarray*} z=a+b\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ und dann zeige, daß $\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ in K liegt.

Zitat:

Original von Memoriaund wie würde ich zeigen ,dass die Menge element "Reelle Zahlen" ist??

Das ist laut Aufgabenstellung nicht zu zeigen.

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:41

Memoria

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ja okay...also mache ich erstmal z*w und definiere z als a+bwurzel3.

dann setze ich das ein und wie definiere ich denn zhoch-1???nach was muss ich auflösen:
(a+bwurzel3)*w=1
w=zhoch-1

reicht das schon??
Muss ich w gar nicht als x+ywurzel3 definieren???

22.11.2010, 19:46

lgrizu

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Zitat:

Original von Memoria
und muss ich die körperaxiome für diese aufgabenstellung alle beweisen? weil da steht ja "es ist möglich zu zeigen...zu zeigen ist nur"

Finde die Aufgabenstellung komisch. Eigentlich müßte man alle Körperaxiome prüfen, aber wenn bei eurer Aufgabenstellung dasteht, daß man nur das multiplikative Inverse zeigen soll... Dann zeige nur das multiplikative Inverse.

Ibn Batuta

so eigenartig ist das gar nicht, immerhin kann man einige axiome direkt aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ "importieren", es wäre also nahezu trivial, assoziativität, distributivgesetz, kommutativität und 0 und 1 existieren in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

das eigentlich interessante ist tatsächlich das inverse, der dafür mögliche kandidat ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt3)^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt3} \end{eqnarray*}$ , nun muss man überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b\sqrt3} \in \mathbb Q (\sqrt3) \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 19:51

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
ja okay...also mache ich erstmal z*w und definiere z als a+bwurzel3.

dann setze ich das ein und wie definiere ich denn zhoch-1???nach was muss ich auflösen:
(a+bwurzel3)*w=1
w=zhoch-1

reicht das schon??
Muss ich w gar nicht als x+ywurzel3 definieren???

Siehe den Beitrag von Igrizu, der dankenswerterweise das ausgeschrieben hat, was ich dir schon mehrmals mündlich hingeschrieben habe. smile

smile

Ibn Batuta

22.11.2010, 19:53

Memoria

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ja genau das habe ich raus und weil man das als bruch schrieben kann ist zhoch-1 element "rationale zahlen".... ne??
es kommt mir aber zu wenig und zu einfach vor also nochmal ganz kurz:

Hier steht zu erst Man kann zeigen, das K {(ihr wisst ja was K ist smile

smile

)...element "rat.zahlen"} teilmenge von "Reelle Zahlen" bzgl. Add.und Multiplikation reeller zahlen ein Körper ist. Überprüfen sie hier nur, dass jedes 0 ungleich x element K multiplikativ invertierbar ist.

wäre ich dann also fertig???wäre die aufg. gelöst??

22.11.2010, 19:58

Ibn Batuta

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Nochmal: Du hast doch noch gar nicht überprüft, ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b\sqrt3} \in K \end{eqnarray*}$ .
Nochmal: Du mußt nicht überprüfen, ob K Teilmenge der reellen Zahlen ist. Das ist nicht verlangt.

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:01

Memoria

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ja ich glaube du bist genervt von mir , es tut mir leid unglücklich

unglücklich

ich will es ja auch können.aber wwie zeige ich denn dass das in K liegt? das verstehe ich nicht..

22.11.2010, 20:03

Ibn Batuta

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Ich bin nicht genervt. smile

smile

Hast du denn gar keine Idee, wie du da rangehen kannst?

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:10

Memoria

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also mein z^-1 ist ja 1/(a+bwurzel3) so und jetzt will ich wissen ob diese auch in K (dem Körper) oder in M(der Menge) drin sind?

WEnn man wissen will ob etw. in etw. drin ist dann setzt man das ja für gewöhnlich ein........aberr ehrlich gesagt ich habe keinen ansatz

22.11.2010, 20:12

Ibn Batuta

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Ich gebe dir mal einen Tipp.

Erweitere (Zähler und Nenner) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b\sqrt3} \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a-b\sqrt3) \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:17

Memoria

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okay das habe ich gemacht.... aber ich weiß immer noch nicht warum ich das so machen muss und wie es weiter geht..... unglücklich

unglücklich

manno sorryyy

22.11.2010, 20:22

Ibn Batuta

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Zeig mir mal, was du da rausbekommen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann erkläre ich dir (vielleicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

), warum du das gemacht hast.

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:24

Memoria

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(a-bwurzel3)/(a²-3b²)........... so aber weiter geht es nicht.. unglücklich

unglücklich

22.11.2010, 20:26

Ibn Batuta

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Richtig. Splitte das in einen 1. und einen 2. Summanden auf und poste es doch mal her. Danach kommt die Erklärung oder du siehst es alleine auch. Dann kann ich mir die Erklärung sparen. smile

smile

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:29

Memoria

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wouw...ich bin voll fasziniert du hast auf alles eine lösung...aber das ist grad ein andres thema wollte ich nur mal eben loswerden smile

smile

also dann habe ich ((a)/(a²-3b²))-((bwurzel3)/(a²-3b²))

und..............ich muss dich enttäuschen ich sehe das math. wunder nicht smile

smile

22.11.2010, 20:39

Ibn Batuta

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Danke... Da werde ich doch glatt rot.

Also pass auf.
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a²-3b²}-\frac{b}{a²-3b²}\cdot\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a²-3b²} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ , da dies insgesamt eine rationale Zahl ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a²-3b²} \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \in K \end{eqnarray*}$ , da dies insgesamt auch eine rationale Zahl ist.

Nennen wir $\begin{eqnarray*} c = \frac{a}{a²-3b²} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d = -\frac{b}{a²-3b²} \end{eqnarray*}$ , dann steht doch da:
$\begin{eqnarray*} c+d\cdot\sqrt 3 \in K \end{eqnarray*}$

Fertig. Wenn du weitere Fragen hast, nur zu. smile

smile

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:49

Memoria

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okay also so in etwa hätte ich das mir irgendwie denken können, aber das alles so auch aufzuschreiben ...wouw danke...also ich habe es verstanden es ist ja eig. ganz simpel vielen dank...aber dieses aufschreiben also das formale das muss ich mir noch iwie aneignen.....das ist wie eine ganz neue sprache smile

smile

smile

eine frage wenn ich darf...bist du auch student? wirkst wie ein professor smile

smile

ganz eehrlich darum ......... hoffentlich weiß ich irgendwann auch so viel smile

smile

22.11.2010, 20:52

Memoria

Auf diesen Beitrag antworten »

eine frage noch...bin gerade nohc aan einer anderen aufg..... die ich sogar fertig habe GANZ ALLEINE smile

smile

also fast fertig...ich muss nur wissen was bei komplexen zahlen z^-1 ist??

22.11.2010, 20:53

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
okay also so in etwa hätte ich das mir irgendwie denken können, aber das alles so auch aufzuschreiben ...wouw danke...also ich habe es verstanden es ist ja eig. ganz simpel vielen dank...aber dieses aufschreiben also das formale das muss ich mir noch iwie aneignen.....das ist wie eine ganz neue sprache smile

smile

smile

Einfach viel üben.

Zitat:

Original von Memoria
eine frage wenn ich darf...bist du auch student? wirkst wie ein professor smile

smile

ganz eehrlich darum ......... hoffentlich weiß ich irgendwann auch so viel smile

smile

Viel üben, dann wird das schon. smile

smile

Bin 23 Jahre, studiere Informatik auf M.Sc. (fast fertig) und studiere jetzt noch nebenbei Mathematik B.Sc.

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:55

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
eine frage noch...bin gerade nohc aan einer anderen aufg..... die ich sogar fertig habe GANZ ALLEINE smile

smile

also fast fertig...ich muss nur wissen was bei komplexen zahlen z^-1 ist??

$\begin{eqnarray*} z^{-1} = \left(\frac{a}{a^2+b^2},\,\frac{-b}{a^2+b^2}\right) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

22.11.2010, 20:57

Memoria

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wirklich wirklich hut ab smile

smile

ich bin erst im 1.semester.
aber wenn ich dann sehe, dass es studenten gibt, die das alles können dann motoviert mich das irgendwie smile

smile

es ist also gar nicht unmöglich das alles zu vertshen.
Ich liebe mathe eig auch....nur die Uni ist ja wirklich ganz anders..aber herzlichen dank smile

smile

22.11.2010, 20:58

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Memoria
Also wirklich wirklich hut ab smile

smile

ich bin erst im 1.semester.
aber wenn ich dann sehe, dass es studenten gibt, die das alles können dann motoviert mich das irgendwie smile

smile

es ist also gar nicht unmöglich das alles zu vertshen.
Ich liebe mathe eig auch....nur die Uni ist ja wirklich ganz anders..aber herzlichen dank smile

smile

In Mathematik bin ich auch im 1. Semester. smile

smile

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:02

Memoria

Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar das wars dann mit der motivation Hammer

Hammer

ich muss noch viel lernen.....
ich will auch so gut sein smile

smile

22.11.2010, 21:04

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
alles klar das wars dann mit der motivation Hammer

Hammer

Das sollte aber kein Motivationsdämpfer sein. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Memoria
ich muss noch viel lernen.....
ich will auch so gut sein smile

smile

Dann üb viel und stelle auch viele Fragen. smile

smile

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:07

Memoria

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alles klar prof. Ibn Batuta
eine frage noooooooch. z^-1 bei komplexen zahlen errechnet sich wie????

22.11.2010, 21:12

Ibn Batuta

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So ähnlich, wie wir es vorhin auch gemacht haben.

$\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a, b \in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} z\cdot z^{-1} = 1. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{a+b\cdot i} \end{eqnarray*}$

Das erweiterst du nun mit der konjugiert komplexen Zahl und gehst analog so vor wie gerade eben bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Kannst du das nun? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:30

Memoria

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okay danke smile

smile

ich versuche das jetzt mal und schriebe dann später wieder wenn du heute niccht mehr zurüchschreibst dann siehst du das morgen weil ich muss das jetzt erstmal bisschen länger ausprobieren... smile

smile

danke danke danke

22.11.2010, 22:01

Memoria

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also dann bekomme ich nach dem erweitern wieder einen bruch raus. soll ich den dan noch aufteilen in a+bi? und dann fertig????? das ergebnis ist dann mein z^-1,ne?

22.11.2010, 22:02

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
also dann bekomme ich nach dem erweitern wieder einen bruch raus. soll ich den dan noch aufteilen in a+bi? und dann fertig????? das ergebnis ist dann mein z^-1,ne?

Zeig mal deinen Bruch.

Ibn Batuta

22.11.2010, 22:07

Memoria

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also z= $\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{6}i }{\sqrt{3}+\sqrt{2}i } \in "Kompl.Zahlen" \end{eqnarray*}$

und dann ist mein $\begin{eqnarray*} z^{-1}= \frac{\sqrt{2} }{5}- \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{5} }i \end{eqnarray*}$

22.11.2010, 22:11

Memoria

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oh gott also das ist nicht ganz so wie ich wollte geworden verwirrt

verwirrt

also z=(2wurzel6 - i)/((wurzel3)+i*wurzel2)
z^-1 hab ich richtig hinbekommen smile

smile

22.11.2010, 22:17

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Memoria
also z= $\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{6}i }{\sqrt{3}+\sqrt{2}i } \in "Kompl.Zahlen" \end{eqnarray*}$

und dann ist mein $\begin{eqnarray*} z^{-1}= \frac{\sqrt{2} }{5}- \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{5} }i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{2\sqrt{6}i }{\sqrt{3}+\sqrt{2}i } \end{eqnarray*}$

Das würde ich erstmal in eine Form $\begin{eqnarray*} z = a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ umformen. Danach an das Inverse mich ranmachen.

Ibn Batuta

22.11.2010, 22:21

Memoria

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ja ich habe ja nochmal geschrieben weil hab mich bisschen vertippt gehabt. aufjedenfall das habe ich schon gemacht.

z= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} -\sqrt{3} i \end{eqnarray*}$ und dann kommt für z^-1 das raus was ich eben geschrieben habe...oder?

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