Betragsregel für komplexe Zahlen

22.11.2010, 19:25	Itsab11	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsregel für komplexe Zahlen Man soll folgendes zeigen: z,w sind komplexe Zahlen \|z+w\|² + \|z-w\|² = 2(\|z\|²+\|w\|²) meine Ideen: Ich weiß dass wenn ich die Beträge wie binomische Formeln behandle ich tatsächlich auf die rechte Seite kommen würde, jedoch entspricht dass nicht wirklich den Regeln aus unserer Vorlesung. Was ich weiß $\begin{eqnarray} \| z+w \| \leq \| z \| + \| w \| (Dreiecksungleichung)\Rightarrow \| z+w \|² \leq (\| z \| + \| w \|)² \end{eqnarray}$ Weiterhin $\begin{eqnarray} \| z-w \| \leq \| z \| + \| w \| (Dreiecksungl.)\Rightarrow \| z-w \|² \leq (\| z \| + \| w \|)² \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \| z+w \|² + \| z-w \|² \leq 2(\| z \| + \| w \|)² \end{eqnarray}$ wie zeige ich aber nun dass die linke seite = 2(\|z\|²+\|w\|²) ist? Gruß
22.11.2010, 19:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsregel für komplexe Zahlen Versuche es mal mit der Regel $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = z \cdot \overline z \end{eqnarray}$ .
22.11.2010, 19:41	Itsab11	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann $\begin{eqnarray} \| z+w \|² + \| z-w \|² = (z+w) (\overline z+\overline w)) + (z-w) (\overline z-\overline w) = z\overline z + z\overline w + w\overline z + w\overline w + z\overline z - z\overline w - w\overline z + w\overline w = 2z\overline z + 2w\overline w = 2\| z \|² + 2\| w \|² = 2(\|z\|² + \|w\|²)<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das dann so?
23.11.2010, 09:12	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
100%.

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