Induktion nach n! was muss ich bei folgendem beispiel alles beachten?

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22.11.2010, 21:23	james91	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion nach n! was muss ich bei folgendem beispiel alles beachten? Meine Frage: Die Zahlen $\begin{eqnarray} x_{n} ,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , werden wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} x_{1} = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{n} = x_{n-1} +2n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} x_{n} = n(n+1) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: nun ist ja klar, dass ich mit IA anfangen muss also für n=1 gilt nach $\begin{eqnarray} x_{n} = n(n+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} = 1(1+1)=2 \end{eqnarray}$ also im fall von n=1 korrekt...nun muss ich das für n+1 zeigen...also ist IV $\begin{eqnarray} x_{n} = n(n+1) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ also muss gezeigt werden $\begin{eqnarray} x_{n+1} = (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ ...aber wie muss ich folgendes beachten... $\begin{eqnarray} x_{n} = x_{n-1} +2n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$
22.11.2010, 21:58	james91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion nach n! was muss ich bei folgendem beispiel alles beachten? kann mir bitte jemand einen hinweis geben!
22.11.2010, 22:04	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis #1: Gib uns Zeit. Wir sind weder Maschinen, noch Sklaven. Wenn dir jemand antworten möchte, wird er das auch ohne Drängen tun (siehe Forenprinzip). Frage #1: Ist der Weg der vollständigen Induktion vorgeschrieben? Hinweis #2: Kennst du die Gaußsche Summenformel? Hinweis #3: Bei der IV hast du dich vertan. Das "für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ " ist dort fehlplatziert. Hinweis #4: Du nimmst in der IV an, dass $\begin{eqnarray} x_n = n(n+1) \end{eqnarray}$ ist. Nun ist $\begin{eqnarray} x_{n+1} = (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ zu beweisen. Fange mit der Definition der Folge an: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n + 2(n+1) \stackrel{\text{IV}}{=} \text{...?} \end{eqnarray}$ air
22.11.2010, 22:16	james91	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die hinweise...induktion ist nicht vorgeschrieben...aber es handelt sich bei dem ganzen aufgabenböatt um induktion, daher dachte ich, dass es die einzigste möglichkheit sei...was gibt es denn noch für eine möglichkeit...ist diese möglicherweise einfacher? EDIT: sorry, dass ich so gedrängt habe. ich dachte ich hätte die frage schon viel länger als ne halbe stunde reingestellt!
22.11.2010, 22:18	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ einfach rückwärts die vorherigen Glieder einsetzst, so erhälst du $\begin{eqnarray} x_n = 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \ldots \end{eqnarray}$ Ausklammern und die Gaußsche Summenformel anwenden und man ist fertig. Wenn das Blatt aber von VI handelt, würde ich mich auf diesen Beweis konzentrieren. Hat ja auch einen Übungseffekt. Wie weit kommst du mit meinen Hinweisen der VI betreffend? air
22.11.2010, 22:31	james91	Auf diesen Beitrag antworten »
denke ganz gut ...ich mach mal da weiter, wo du aufgehört hast =n(n+1)+2(n+1)=n^2+n+2n+2=n^2+3n+2=(n+1)(n+2) und das musste ja gezeigt werden...hoffe, dass ich das richtig gemacht habe...muss ich sonst noch was machen, außer ein kleines quadrat drunter zu setzen?
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22.11.2010, 22:34	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir einen unnötigen Schritt sparen! Ist ja ganz nett dass du ausmultiplizierst und dann wieder ausfaktorisierst ... aber warum klammerst du nicht gleich (n+1) aus? $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n + 2(n+1) = n\underbrace{(n+1)}_{\text{!}} + 2\underbrace{(n+1)}_{\text{!}} = (n+1)(n+2) \end{eqnarray}$ . Scherz beiseite, es ist natürlich vollkommen okay, so wie du es gemacht hast. Was noch zu tun ist? Nun .. einfach mal schauen, was du machen musst und was du davon nun erledigt hast. Ein kleiner Satz am Ende schadet nie, aber sonst ist die Checkliste eigentlich abgehakt. air
22.11.2010, 22:39	james91	Auf diesen Beitrag antworten »
super...vielen dank für deine hilfe!
22.11.2010, 22:40	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. air

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