Wahrscheinlichkeit bei einer Umfrage

22.11.2010, 21:24

bella20

Wahrscheinlichkeit bei einer Umfrage

Edit (mY+): Titel "abiturpr" vollkommen verfehlt! Was soll das? Der Titel soll den Inhalt des Themas signifiikant kennzeichnen!

Meine Frage:
huhuuu folgende Abiturprüfungsaufgabe versteh ich überhaupt net unglücklich

(

"Man kann davon ausgehen,dass 60% der 12-19 Jährigen ein eigenes Fernsehgerät besitzen.Für eine Umfrage benötigt man 800 Jugendliche mit eigenem Fernseher.

Bestimmen Sie die Mindestanzahl der Jugendlichen ,die man auswählen muss,damit unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens 800 Besitzer eines Fernsehgeräts sind."

WIe geh ich denn nun vor??Ich bin nur der meinung dass das mit Sigma etc berechnet wird oder???

Hoffe irgendjemand kann mir da helfen!Dann danke ich schon im voraus!

lg bella

Meine Ideen:
Sigma??und dann....kp unglücklich

(

23.11.2010, 08:56

minimammut

Auf diesen Beitrag antworten »

also es ist eine Bernoulli Kette, weil man ja entweder einen mit Fernseher erwischt, oder einen ohne.
Man braucht 800 oder mehr Treffer, und die Wahrscheinlichkeit dieser Treffer insgesamt soll 0,9 sein.
$\begin{eqnarray*} Pr(X\geq 800)=\sum_{i=800}^{n} \left( b(i;n;0,6)\right)=0,9 \end{eqnarray*}$
Es gilt also in dieser Gleichung n herauszufinden (die Anzahl der Versuche)
Damit jetzt weiter zu kommen ist glaubich nicht so leicht.
Man könnte vielleicht damit arbeiten dass gilt:
$\begin{eqnarray*} Pr(X\leq 799)=1-Pr(X\geq 800)=\sum_{i=0}^{799} \left( b(i;n;0,6)\right)\leq {n \choose 799}(1-p)^{n-799} \end{eqnarray*}$

Sonst findet man in den Schulbüchern manchmal so Tabellen für die Summenverteilungen in denen man das evt. einfach nachschlagen könnte...

23.11.2010, 11:11

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Jau ... in Schulbüchern finden sich schon manchmal Tabellen zur kummulierten Binomialverteilung. Ich fürchte nur, dass du kein Tabellenwerk findest, dass etwa für n=1450 k=799 und p=0.6 Einträge enthält ... Big Laugh

Und auch dein Taschenrechner könnte mit solchen Aufgaben restlos überfordert sein. Big Laugh

Solche Ausdrücke könnte man dann höchstens über die Normalverteilung approximieren.

Aber das ist m.E. bei dieser Aufgabe gar nicht verlangt. Wie die Fragestellerin schreibt, soll hier wohl eher mit Sigma-Umgebungen gearbeitet werden.

Gegeben ist X=800 und p=0.6 Nun soll n bestimmt werden.

Für den Erwartungswert gilt doch

µ = n * 0.6

sigma = Wurzel (n * 0.6 * (1 - 0.6)

Tja, und wenn man nun verwendet, dass die X <= 800 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% in einer Umgebung des Erwartungswertes mit Radius 1.64 * sigma liegen, dann erhält man eine Ungleichung für n. Und die kann man auflösen.

23.11.2010, 11:23

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BarneyG.
Solche Ausdrücke könnte man dann höchstens über die Normalverteilung approximieren.

Aber das ist m.E. bei dieser Aufgabe gar nicht verlangt. Wie die Fragestellerin schreibt, soll hier wohl eher mit Sigma-Umgebungen gearbeitet werden.

Zitat:

Tja, und wenn man nun verwendet, dass die X <= 800 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% in einer Umgebung des Erwartungswertes mit Radius 1.64 * sigma liegen, dann erhält man eine Ungleichung für n. Und die kann man auflösen.

Das gilt für die Normalverteilung, aber nicht generell! Bei der Binomialverteilung gilt das nicht. Bei ihr gilt es näherungsweise, wenn sie sich durch die Normalverteilung nähern lässt.

Die angedachte Lösung besteht also in der Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

23.11.2010, 12:15

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das gilt für die Normalverteilung, aber nicht generell! Bei der Binomialverteilung gilt das nicht. Bei ihr gilt es näherungsweise, wenn sie sich durch die Normalverteilung nähern lässt.

Ist das denn hier nicht der Fall? Die LaPlace Bedingung ist doch wegen des große n erfüllt.

23.11.2010, 13:24

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist was hier nicht der Fall?
Mein Einwand hat doch nichts mit der Laplacewahrscheinlichkeit zu tun, die bei einer Binomialverteilung mit p <> 1/2 eh nicht gegeben ist.
Mein Einwand betrifft auch nicht deinen Lösungsvorschlag. Er betrifft nur seine Begründung. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \in [\mu \pm \alpha \sigma]) \end{eqnarray*}$

abhängig von der Verteilung von X. Deine Beziehung

$\begin{eqnarray*} P(X \in [\mu \pm 1,64 \sigma]) = 0,9 \end{eqnarray*}$

ist nur für die Normalverteilung richtig. Bei anderen Verteilungen höchstens zufällig, oder wie in desem Beispiel, weil sie sich durch die Normalverteilung annähern lassen.

23.11.2010, 15:12

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh ... also Huggy, ich will ja jetzt keinen Expertenstreit lostreten. Den würde ich haushoch verlieren, dazu kenne ich dich viel zu lange. Aber ich würde nun schon gern wissen was Sache ist:

Ich habe nicht von einem Laplace Experiment mit p=1/2 gesprochen. Sondern von der Laplace Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n * p * (1 - p)} \geq 3 \end{eqnarray*}$

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.

Diese Bedingung ist "dicke" erfüllt, da p = 0.6 und das gesuchte n größer als 1000 ist.

Und deswegen kann man die Aufgabe mit der Sigma-Umgebung lösen.

Also ohne jede Rechthaberei - was ist denn an meiner Argumentation nun falsch? Ich bin gern bereit mich eines Besseren belehren zu lassen ...

Allerdings WIE die Aufgabe nun zu lösen ist, ob mit Sigma Umgebung oder über die Approximation durch die Normalverteilung, das kann ich natürlich nicht sagen. Da müssten wir dann schon den Lehrer der Fragestellerin zu Wort kommen lassen. Big Laugh

23.11.2010, 16:01

bella20

Auf diesen Beitrag antworten »

danke danke für die anregenden ideen und vorschläge. smile

nur auf ein ergebnis komme ich leider immer noch net..... das lässt mich echt net zur ruh kommen....ja das mit sigma und müh is schon richtig so ....mehr weiß ich auch net weil die lehrerin nicht mehr erzählen wollte.....

aber wirklich vielen dank Freude

23.11.2010, 17:08

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BarneyG.
Ich habe nicht von einem Laplace Experiment mit p=1/2 gesprochen. Sondern von der Laplace Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n * p * (1 - p)} \geq 3 \end{eqnarray*}$

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.

Diese Bedingung ist "dicke" erfüllt, da p = 0.6 und das gesuchte n größer als 1000 ist.

Absolut einverstanden.

Zitat:

Und deswegen kann man die Aufgabe mit der Sigma-Umgebung lösen.

Ebenso einverstanden.

Mein Einwand bezog sich darauf, dass du oben sagtest, man könne die Aufgabe mit Sigma-Umgebungen lösen ohne die Näherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Und da meine ich, dass das erstere zwingend das zweite voraussetzt. Ist die Bedingung für die Näherung durch die Normalverteilung nicht erfüllt, kann man auch nicht in obiger Form mit Sigma-Umgebungen rechnen.

Vielleicht habe ich deine Bemerkung, dass die Näherung durch die Normalverteilung gar nicht verlangt ist, irgendwie falsch verstanden.

23.11.2010, 20:22

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

....ja das mit sigma und müh is schon richtig so

Zitat:

nur auf ein ergebnis komme ich leider immer noch net.....

Na gut, dann scheinen wir uns jetzt ja über den Lösungsweg einig zu sein. Ich versuche mal, das zu skizzieren ... und Huggy passt genau auf, dass auch alles seine Richtigkeit hat. Big Laugh

Soweit waren wir ja schon gediehen:

µ = n * 0.6

sigma = Wurzel (n * 0.6 * (1 - 0.6) )

Jetzt gilt aufgrund der Sigma Regel mit Approximation durch die Normalverteilung

$\begin{eqnarray*} P(X \in [\mu \pm 1,64 \sigma]) = 0,9 \end{eqnarray*}$

Dieser Ausdruck ist abhängig von n. Wir suchen nun das n für das die rechte Grenze = 800 ist. Das ist das minimale n für das wir 800 Treffer erzielen.

$\begin{eqnarray*} \mu + 1,64 \sigma = 800 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir µ und sigma ein und erhalten eine Gleichung für das minimale n. Und die können wir nach n auflösen ...

ich kriege da irgendwas wie n=1310 heraus ... aber das wird Huggy sicher kritisch überprüfen ... Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit bei einer Umfrage

Verwandte Themen