Lineare Unabhängigkeit der Familie {z,z²}

22.11.2010, 21:43

Käsebert

Lineare Unabhängigkeit der Familie {z,z²}

Meine Frage:
Guten Abend!
Ich habe folgendes Problem (bzw. bin mir einfach unsicher):

Wir betrachten den R-Vektorraum C.
Für welche z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C ist die Familie {z,z²} linear unabhängig?

Meine Ideen:
Zuerst habe ich einmal die Bedingung aufgestellt, dass

a*z + b*z² = 0

Dann ist ja z = x + iy
Somit erhalte ich: ax + iay + bx² + 2ibxy - by²

Da eine komplexe Zahl ja dann 0 ist, wenn sowohl der Real- als auch der Imaginärteil 0 sind, folgt:

ax + bx² - by² = 0 (Re)
ay + 2bxy = 0 (Im)

Umgeformt:

i) ax + b(x² - y²) = 0
ii)y(a + 2bx) = 0

Soweit so gut. Jetz dachte ich mir, dass ja a = b = 0 nur dann feststehen muss, wenn gewährleistet ist, dass

i) x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y

ii) y $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

Also komme ich insgesamt auf ein Ergebnis, bei dem aufjedenfall z $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 sein muss und außerdem gilt, dass a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y

Nun kommt mir das ganze aber irgendwie komisch vor...
Was zum einen an so Sachen liegt, dass z.B. bei Gleichung i), falls x = 0 gilt, a nicht zwangsläufig 0 sein muss. Ich denk immer, dass die Nullsumme NUR und auschließlich von a = b = 0 kommen darf. D.h. kein anderer Faktor darf 0 sein... Bin mir aber gerade nicht sicher, ob das so ist...
Wäre mir eine große Hilfe, wenn der ein oder andere einen Tip oder Hinweis hätte :P

Danke schonmal im Voraus!
Käsebert

23.11.2010, 08:46

Mazze

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Deine Umformungen sind soweit in Ordnung.

Zitat:

Ich denk immer, dass die Nullsumme NUR und auschließlich von a = b = 0 kommen darf. D.h. kein anderer Faktor darf 0 sein... Bin mir aber gerade nicht sicher, ob das so ist...

Das ist die Definition der linearen Unabhängigkeit. Du darfst aber nicht vergessen, dass Du hier allgemeine komplexe Zahlen hast, und Du sollst diejenigen ausschließen, für die lineare Abhängigkeit gilt. Ist etwa y = 0, so sind z und z², wie Du schon gezeigt hast, linear Abhängig. Das ergibt auch Sinn, die reellen Zahlen, als Untervektorraum deines R-Vektorraumes C sind eindimensional, sprich, zwei "reelle Zahlen" sind im R-Vektorraum stets linear abhängig.

Also kann man die Bedingung y != 0 schonmal festhalten. Wenn y!= 0 ist, muss natürlich

(a + 2bx) = 0

sein, also ?

Ansonsten ist x != 0 natürlich auch richtig. Wäre x = 0, würden wir uns im eindimensionalen Unterraum der rein komplexen Zahlen befinden.

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