Integrationsaufgabe

22.11.2010, 21:19

TheRepatriate

Integrationsaufgabe

Edit (mY+): KEINE Hilferersuchen im Titel, diese werden entfernt. Geholfen wird doch ohnehin.

Hallo zusammen,

ich übe gerade für meine Mathe Klausur und mit Integrieren habe ich eigentich kein Problem nur die folgende Funktion bereitet mir Kopfzerbrechen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{x^3}{1+x^2} \, dx \ \end{eqnarray*}$

Mein bisheriger Ansatz:

=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \int_a^b \! x^2* \frac{2x}{1+x^2} \, dx \ \end{eqnarray*}$ und dann partielle Integration
=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(x^2 * ln(1+x^2)) - \int_a^b \! x*ln(1+x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

Hier müsste dann ja wiederum die Substitution folgen, also:

=> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(x^2 * ln(1+x^2)) - \frac{1}{2}*((1+x^2)*ln(1+x^2)-(1+x^2)) \end{eqnarray*}$

Trotz Vereinfachen komme ich nicht auf das ergebnis aus dem online Rechner, das wie folgt aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *(x^2 - log(x^2+1)) \end{eqnarray*}$

KOmme nicht auf dieses Ergebnis, kann mir vielleicht jemand weiterhelfen, mach ich einen Fehler?

Danke schonmal MFG Julian

22.11.2010, 21:26

Calvin

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RE: Hilfe bei Integrations Aufgabe

Zitat:

Original von TheRepatriate
KOmme nicht auf dieses Ergebnis, kann mir vielleicht jemand weiterhelfen, mach ich einen Fehler?

Du hast alles richtig gemacht. Beide sind eine Stammfunktion. Die beiden unterscheiden sich lediglich in der additiven Konstante $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

EDIT
Mit einer Polynomdivision zu Beginn wärst du übrigens auch auf eine Lösung gekommen.

22.11.2010, 21:27

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+1-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Das sollte helfen. Augenzwinkern

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:29

Calvin

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@Ibn Batuta

Und dann? Wo willst du kürzen?

22.11.2010, 21:29

Mulder

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+1-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Das sollte helfen. Augenzwinkern

Echt?

Edit: Ah, es gab schon Proteste. Big Laugh

22.11.2010, 21:37

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Calvin
@Ibn Batuta

Und dann? Wo willst du kürzen?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+1-1}{x^2+1} = \frac{x^3+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:40

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Mulder
Edit: Ah, es gab schon Proteste. Big Laugh

Die aber unberechtigt sind.

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:41

René Gruber

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Zitat:

Original von Calvin
Mit einer Polynomdivision zu Beginn wärst du übrigens auch auf eine Lösung gekommen.

Substitution $\begin{eqnarray*} t=1+x^2 \end{eqnarray*}$ wäre eine weitere, ziemlich zügige Alternative.

22.11.2010, 21:45

Mulder

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RE: Integrationsaufgabe

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Die aber unberechtigt sind.

Naja, du machst ja nichts anderes als die von Calvion bereits angesprochene Polynomdivision. Daher zielte die Frage wohl eher darauf ab, wozu die Umformung überhaupt gut sein sollte. Denn ich kenne dieses Hinzufügen auch nur, wenn es darum geht, den Bruch dann auseinander zu ziehen und anschließend zu kürzen.

22.11.2010, 21:48

Ibn Batuta

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RE: Integrationsaufgabe

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Die aber unberechtigt sind.

Zwischen seiner Antwort und meiner Antwort liegen 1 Minute dazwischen. Als ich auf "Antwort erstellen" klickte, war mir ergo noch gar nicht bewußt, daß er schon geantwortet hatte. Bitte demütigst um Pardon.

Ibn Batuta

22.11.2010, 21:51

Mulder

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RE: Integrationsaufgabe
Ich meinte das nicht als Vorwurf. Ich meinte eher: Warum wird aus

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+1-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

eher das Ergebnis ersichtlich, als aus

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

? Um ehrlich zu sein, sehe ich das nämlich irgendwie nicht.

22.11.2010, 21:55

Ibn Batuta

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Achso, jetzt verstehe ich was du meinst.
Dann liegt das wohl an der "Technik". Für mich war es ersichtlicher den Zähler "fiktiv" zu erweitern um dann anschließend eine Polynomdivision durchzuführen. So habe ich das bisher immer gehandhabt.

Ibn Batuta

22.11.2010, 22:00

TheRepatriate

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Alles klar,

vielen Dank für die Antworten. Polynomdivision ist ein guter Tipp allgemein, weiß gar nicht wieso ich nicht drauf gekommen bin, braucht man ja bei der Partialbruchzerlegung auch öfters.

MfG Julian! Super Forum!

23.11.2010, 06:26

Calvin

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Achso, jetzt verstehe ich was du meinst.
Dann liegt das wohl an der "Technik". Für mich war es ersichtlicher den Zähler "fiktiv" zu erweitern um dann anschließend eine Polynomdivision durchzuführen. So habe ich das bisher immer gehandhabt.

Dieser Ansatz ist viel ersichtlicher, wenn Zähler- und Nennergrad gleich sind. Also beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Aber bei deiner Variante

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+1-1}{x^2+1} = \frac{x^3+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

hast du keinerlei Vorteile gewonnen. Ganz im Gegenteil, du machst dir mehr Arbeit, weil du hinterher nochmal zwei Brüche wieder zusammenfassen musst.

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