(p-1)-fache Integrierbarkeit einer Funktion

22.11.2010, 22:49

nhoth

(p-1)-fache Integrierbarkeit einer Funktion

Hallo,
ich soll beweisen, dass wenn eine Funktion f p-fach integrierbar ist, dann ist sie auch (p-1)-fach integrierbar.

p-fache Integrierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \int{f(x)^p}dx \end{eqnarray*}$ existiert.
(p-1)-fache Integrierbarkeit annlog.

Mit Hilfe des Hölderschen Ungleichung:
Sei S ein Maßraum, mit $\begin{eqnarray*} 1<p,q< \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac1{p} + \frac1{q}=1 \end{eqnarray*}$ , sei f aus $\begin{eqnarray*} L^p(S) \end{eqnarray*}$ und g aus $\begin{eqnarray*} L^q(S) \end{eqnarray*}$ . Dann ist f*g aus $\begin{eqnarray*} L^1(S) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} <br /> ||fg||_1 \leq ||f||_p * ||g||_q.<br /> \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} 1\leq p' \leq p <+ \infty \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} <br /> ||f||_{p'} \leq ||f||_p*\mu(\Omega)^{\frac1{p'} - \frac1{p}}<br /> \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ als Maß auf einem Maßraum.
Danke im Voraus!!!

22.11.2010, 23:47

gonnabphd

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Du sagst schon richtig: Du sollst zeigen, dass das gilt, nicht wir.

23.11.2010, 08:56

nhoth

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Weiß ja, dass ich das zeigen muss, aber habe keine Idee, wie ich anfangen soll!!!

Also ein Tipp bitte!

23.11.2010, 09:16

René Gruber

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Schrittweise herantasten, dazu erstmal rekapitulieren, wie diese p-Norm definiert ist:

$\begin{eqnarray*} \| f \|_p := \left( \int ~ |f|^p ~ \dd\mu \right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$

Das heißt u.a. $\begin{eqnarray*} \| 1 \|_p = \left( \mu(\Omega) \right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin ist für $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \| |f|^r \|_p = \left( \int ~ |f|^{rp} ~ \dd\mu \right)^{\frac{1}{p}} = \left( \| f \|_{rp} \right)^r \end{eqnarray*}$ .

Und in dem Zusammenhang sollte dir klar sein, dass das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was du zum Zwecke des Beweises in

Zitat:

Original von nhoth
$\begin{eqnarray*} ||fg||_1 \leq ||f||_p * ||g||_q \end{eqnarray*}$

einsetzt nicht dasselbe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von der Behauptung

Zitat:

Original von nhoth
$\begin{eqnarray*} ||f||_{p'} \leq ||f||_p*\mu(\Omega)^{\frac1{p'} - \frac1{p}} \end{eqnarray*}$

sein muss. Augenzwinkern

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