Folge mit x_1 = 1 und x_(n+1) = wurzel(1 + x_n) Grenzwert

22.11.2010, 23:34

Martin L

Folge mit x_1 = 1 und x_(n+1) = wurzel(1 + x_n) Grenzwert

Meine Frage:
Hallo Hallo,

ich lese jetzt schon seit geraumer Zeit hier mit und finde auch meist Lösungen oder ähnliche Beispiele zu meinen Problemen aber diesmal klappts irgendwie nicht.

Es geht um folgende Aufgabe zur Konvergenz von Folgen. Ich soll die folgende Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert angeben.

$\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n} \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Es darf verwendet werden, dass für eine konvergente Folge (x_n) gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{1+x_n} = \sqrt{1+ \lim_{n \to \infty} x_n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jetzt zu meinen Gedanken dazu.

Ich denke mal, dass ich aus dem x_(n+1) irgendwie ein x_n abschätzen muss. Da scheitert es aber irgendwie, weil ich ja nichts über die Folge x_n weiß.
Also ich weiß nicht wirklich was von mir gewollt wird. Ich weiß auch nicht was der Hinweis mir bringen soll.
Die Aufgaben a bis d haben "prima" geklappt aber hier steh ich wirklich auf dem Schlauch.

Hilft es? wenn ich x_n ins Spiel bringe indem ich sage, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x_n} - x_n = 1 \end{eqnarray*}$ ist? Ich hoffe ihr könnt mich auf den rechten Weg zurück führen.

Grüße
Martin

23.11.2010, 09:02

klarsoweit

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RE: Folge mit x_1 = 1 und x_(n+1) = wurzel(1 + x_n) Grenzwert

Zitat:

Original von Martin L
Hilft es? wenn ich x_n ins Spiel bringe indem ich sage, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x_n} - x_n = 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Warum sollte das gelten?

Wenn die Folge konvergent ist, dann gibt es einen Grenzwert g mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = g \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du unter Beachtung des Hinweises eine Gleichung für g aufstellen.

Dann mußt du natürlich noch zeigen, daß die Folge tatsächlich konvergent ist. Zeige dazu, daß sie monoton steigt und nach oben beschränkt ist.

23.11.2010, 16:21

Martin L

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Ja ich weiß auch nicht warum das gelten sollte ;-) irgendwie hab ich das mit dem rekursiv definierten glaub ich gestern nicht mehr so in den Kopf bekommen.

Heute haben wir in der Vorlesung noch ein paar Monotoniesätze gemacht und ich werde gleich mal schauen, ob ichs damit hinbekomme.

Danach nur noch den Lineare Algebra Übungszettel und morgen gibts schon wieder neue Hausaufgaben ;-).

EDIT: Ich weiß wieder wie ich drauf kam. Wenn das erste Folgenglied 1 ist und das n+1.-Folgenglied die wurzel, dann hab ich gedacht müsste das n+1. Folgenglied - dem n-ten Folgenglied wieder = 1 sein. Aber das macht ja nicht so wirklich Sinn

Grüße
Martin

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