Erwartungswert von X^2

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Baii Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert von X^2
Hallo, wir haben hier ein kleines Problem:

gegeben W-Raum , und Zufallsvariable.



Nun sollen wir den Erwartungswert und die Varianz berechnen, falls sie existieren.

Für den Erwartungswert haben wir 0 heraus.

Nun müssen wir noch die Varianz berechnen und da haben wir keine Ahnung, wie wir mit dem hantieren sollen.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Für die Varainz einer diskreten Zufallsgröße gilt allgemein
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Zitat:
Original von Baii
Für den Erwartungswert haben wir 0 heraus.


Die Reihe sollte aber absolut konvergieren ...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Zitat:
Original von Baii
Für den Erwartungswert haben wir 0 heraus.

Das wirft für mich, der sich in rein mathematischer Statistik nicht so gut auskennt, folgende Frage auf. Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße wird in den Büchern üblicherweise definiert als



Das ist wohldefiniert, wenn der Wertebereich von X endlich ist. Es ist auch wohldefiniert, wenn der Wertebereich von X abzählbar unendlich ist und die obige Reihe absolut konvergiert.

Doch was ist, wenn die Reihe nicht absolut konvergiert, wie in diesem Beispiel? In der Definition des Erwartungswerts taucht ja die Reihenfolge der Summation nicht auf. Gibt es dann einen wohldefinierten Erwartungswert?

Sehe gerade, dass wisili diesen Aspekt auch erwähnt.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Zitat:
Original von Huggy
[quote]Original von Baii
Doch was ist, wenn die Reihe nicht absolut konvergiert, wie in diesem Beispiel?.

Ich meine, dass es für die Existenz des Erwartungswerts genügt, wenn es eine Summationsreihenfolge gibt, bei der die Summe konvergiert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Das erscheint mir keine ausreichende Antwort. Es gibt bekanntlich beliebig viele Summationsreihenfolgen, bei denen die Reihe konvergiert und das Ergebnis kann man sich beliebig vorgeben.
Ein definierter Erwartungswert liegt deshalb meiner Meinung nicht vor, es sei denn, die theoretischen Statistiker haben in bestimmten Fällen eine bevorzugte Summationsreihenfolge definiert.
Ich lasse mich gern eines besseren belehren.
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
@Lampe
Dann widersprichst du Wikip
edia (Ziffer 4)
(was man mit guten Gründen auch tun dürfte).
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Mit diesem Zitat scheint mir die Frage erledigt. Die Reihe muss absolut konvergent sein. Das ist sie hier nicht. Also liegt kein definierter Erwartungswert vor.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von X^2
Ich leide mit Baii und fasse zusammen, was ich verstanden habe:

Entkleidet von einem konstanten Faktor fällt bei der Erwartungswertberechnung der Ausdruck

an.
Das ist ein unbestimmeter Ausdruck, und deshalb sind Erwartungswrt und Standardabweichung nicht definiert. Wenn das richtig verstanden ist - wisili oder Huggy - bitte nochmal posten!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es denn nur wäre, dann hätte man kein Problem, denn das ist ja Null. Gefordert wird aber die absolute Konvergenz von

,

also die Konvergenz der Reihe der Beträge

,

und diese Konvergenz ist offenbar nicht erfüllt.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich korrigiere meine vorherige Zusammenfassung:

Die Auswertung der Erwartungswertformel für die von Baii beschriebene diskrete Zufallsvariable liefert zwar den Wert null; das Ergebnis ist aber wegen fehlender absoluter Konvergenz (s.o.) bedeutunglos.

Die diskutierte Zufallsvariable hat also weder einen Erwartungswert noch eine Varianz
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