Untervektorraum der polynome...? |
| 23.11.2010, 12:53 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Untervektorraum der polynome...? ich finde leider keine ansätze ... Ich weiss zwar, dass ich bei UVR immer auf abgeschlossenheit prüfen muss mit der addition in der menge und der multiplikation mit einem Skalar aber das jetzt auf den Grad einer Fkt übertragen kann ich nicht....Bitte ich brauche hiillffeee... Meine Ideen: welche der folgenden mengen sind unterräume des vektorraums Pn des polynome vom grad <= n über R?? |
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| 23.11.2010, 13:04 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe hatte ich doch vor kurzem schonmal hier... Überprüf zuerst mal, ob die Mengen nicht leer sind, dann kannst du mal weiter gucken. |
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| 23.11.2010, 13:18 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alos um festzustellen dass iene Menge nicht leer ist, kann ich ja schaun, ob die Menge den Nullvektor enthält, oder? Und wenn er drin ist, dann ist die Menge nichtleer. Heisst das jetzt für U das 0 in U drin sein soll? |
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| 23.11.2010, 13:31 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist üblicherweise der Nachweis den man dafür macht (der Nullvektor muss sowieso enthalten sein, ansonsten kann es kein Unterraum sein). |
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| 23.11.2010, 15:55 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie mache ich das? kann ich jetzt ne Fkt p(x) = ax+b setzen da ja der grad mind. 2 sein soll oder p(x)=0 soll ich dann ax+b=0 setzen?? und dann? |
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| 23.11.2010, 16:00 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie sieht denn der Nullvektor in diesem Vektorraum aus? |
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| 23.11.2010, 16:11 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(O,O,O)? ist ja aus R^3 |
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| 23.11.2010, 16:13 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Untervektorraum der polynome...?
Darüber reden wir doch, oder? Wieso bringst du jetzt den IR³ ins Spiel? 
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| 23.11.2010, 16:28 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Untervektorraum der polynome...? ah sorry hab mich vertan also ein Polynom ist ja immer die summe aus ai xi für i=0 bis n dann ist der Nullvektor hiervon vll =0 und ich muss ai = 0 für alle iE{ 1,...,k} ? |
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| 23.11.2010, 16:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, der Nullvektor ist in diesem Falle das Nullpolynom, ist der Nullvektor also in deiner Menge enthalten? |
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| 23.11.2010, 16:42 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, wenn a(index)i = 0 ist für alle i(element){1,...,n} |
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| 23.11.2010, 16:43 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du mit deinem Zusatz?
Also, der Nullvektor ist in der Menge enthalten, damit ist die Menge schonmal nicht leer. Wie sieht es mit den anderen Unterraumkriterien aus, kannst du die Abgeschlossenheit nachweisen oder findest du vielleicht ein einfaches Gegenbeispiel, dass die Abgeschlossenheit widerlegt? |
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| 23.11.2010, 16:50 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abgeschlossenheit soll gezeigt werden : a,b (element) U : a+b (element) U a (element) U, k (element) R : ka (element) U Muss ich jetzt p(x) + q(x) (element) U ? |
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| 23.11.2010, 16:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du musst zeigen, dass für zwei beliebige Polynome aus der Menge auch die Summe der beiden wieder in deiner Menge liegt (Tipp: guck mal, ob du nicht ein einfaches Gegenbeispiel dafür findest). |
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| 23.11.2010, 17:07 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also muss jetzt der Gard von (p+q)(x) >= 2 ergeben ok.... ahhh ok hatte grad nen anderen Beitrag von dir gesehen mit dem beispiel p(x)=x^2 und q(x)= x°2 +x Wenn man die jetzt addiert dann ist der Exponent von x ja 1 und der ist kleiner 2.... und damit ist das nicht in der menge U und damit kein Unterraum....Blabla...... Richtig? 
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| 23.11.2010, 17:08 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und der Grad von diesem Polynom ist eindeutig zwei, also in der Menge enthalten, aber mit dem Gegenbeispiel bist du auf der richtigen Spur. |
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| 23.11.2010, 17:55 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich checks nicht wie kann ich denn jetzt eine Fkt erstellen sodass der Grad = 1? Nehme ich dann noch ne Fkt dazu r(x) = -2x^2 dann ist (p+q-r)(x)=x.... also ich hab n Brett vorm Kopf glaub ich |
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| 23.11.2010, 17:57 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die musst du gar nicht dazunehmen, du könntest ja aber mal bestimmen... |
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| 23.11.2010, 18:00 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja könnte ich... dann ist es ja auch x und grad = 1 aber kann ich das denn machen?? denn ich muss ja die addition zeigen |
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| 23.11.2010, 18:02 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nimm mal an deine Menge wäre ein Vektorraum, dann gilt: , damit gilt dann... |
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| 23.11.2010, 18:07 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann gilt... p(X)-p(x)=0...und q(x)-p(x) müsste ja dann auch in der menge liegen aber dadurch kommt ja nur noch x raus und dann ist der grad 1.... also q-p(x)= x^2+x-x^2=x oder wie du gesagt hast p-q(x)= -x Und Grad auch gleich 1... nicht hauen.... 
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| 23.11.2010, 18:12 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso hauen? Es stimmt doch, was kannst du also damit jetzt folgern? |
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| 23.11.2010, 18:20 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja dass U kein Unterraum ist weil die Abgeschlossenheit bezg der Addition nicht gegeben ist... aber ich hab ja jetzt noch nicht beachtet das entweder deg p(X)>= 2 oder p(x)=0 |
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| 23.11.2010, 18:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, das hast du. Du hast dir zwei Polynome genommen die in dieser Menge liegen und addiert, das entstandene Polynom liegt nicht in der Menge -> nicht abgeschlossen -> kein Unterraum. |
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| 23.11.2010, 18:23 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt muss ich nur noch U2 und U3 schaffen..... |
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| 23.11.2010, 18:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann fang mal mit dem Nullvektor an, ist der Nullvektor in enthalten? 
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| 23.11.2010, 18:27 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde jetzt mal behaupten der Nulllvektor ist gegeben p(0)=0 also ist die Menge auch schonmal nicht leer Soll ich jetzt auch wieder die Abgeschlossenheit mit p(x) zeigen oder mit p(0)? |
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| 23.11.2010, 18:29 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder muss ich jetzt erstmal mit p(x) zeigen, dass die gewünschte eigenschaft für p(0) gilt? |
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| 23.11.2010, 18:34 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, der Nullvektor ist enthalten, also ist die Menge nicht leer. Die Abgeschlossenheit musst du jetzt für Polynome zeigen, die die geforderte Bedingung erfüllen, d.h. du darfst direkt annehmen, dass gilt. |
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| 23.11.2010, 18:37 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja addiert ist es ja immernoch 0 und dass ist ja ind er Menge und das Multipliziert mit einem Skalar ist es immernoch = 0 also auch bezgl der Multiplikation ist die Abgeschlossenheit erfüllt... |
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| 23.11.2010, 18:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du scheinst das richtige zu meinen, jetzt schreib das noch mathematisch auf, dann hast du nachgewiesen dass es sich hier um einen Unterraum handelt. 
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| 23.11.2010, 18:49 | Bruni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay danke.... Jetzt verstehe ich bei der 3 nicht, was a(index)j zu für das Polynom zu bedeuten hat muss ich das addieren ? also ist a (index) j als begrenzung gemeint? also i-2k= j oder so? Mir fehlt da irgendwie der Ansatz ...wie immer hahah |
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