Vollständige Induktion, Produkt

23.11.2010, 12:57

math_mrg

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Vollständige Induktion, Produkt

Meine Frage:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für die Identität

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(4k-2)=\prod_{k=1}^n(n+k)\text{ , für alle} n\in \mathbb{N} <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was für n+1 zu zeigen ist...ich dachte jetzt eigentlich an:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2)=\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich aber mit meinem letzten Schritt nicht klar...nach Einsetzen der Ind.voraussetzung etc. komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2)=\prod_{k=1}^n(n+k)\cdot ((n+1)+1+n+1)<br /> =\prod_{k=1}^n(n+k)\cdot (2n+3) \end{eqnarray*}$

und da komme ich jetzt nicht weiter....

23.11.2010, 13:14

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion, Produkt
Wie sieht denn der letzte Faktor von $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2) \end{eqnarray*}$ aus?

23.11.2010, 15:50

math_mrg

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achso ja den hatte ich auch schon, ist doch

$\begin{eqnarray*} (4(n+1)-2)=(4n+2) \end{eqnarray*}$

oder?
aber was hat das mit 2n+3 zu tun??

23.11.2010, 16:05

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion, Produkt
Erstmal nichts. das hattest du ja auch geschrieben.

So, jetzt spalte aus $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2) \end{eqnarray*}$ den letzten Faktor ab. Dann kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden.

23.11.2010, 17:19

math_mrg

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das habe ich doch oben bereits gemacht...
ah sorry hatte mich auch verschrieben...

ich komme nach einsetzen der ind.vor. etc. auf:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2)= \hdots = \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (4n+2) \end{eqnarray*}$

und das muss ja das ergeben, was ich unten schon schrieb, also:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (4n+2) = \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (2n+3) \end{eqnarray*}$

und da komme ich nicht weiter......:S

23.11.2010, 19:15

klarsoweit

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Wie du auf $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (2n+3) \end{eqnarray*}$ kommst, wird dein Geheimnis bleiben.

Ich schlage vor, du nimmst $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (4n+2) \end{eqnarray*}$ und machst in dem Produkt eine Indexverschiebung mit n=m+1 .

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23.11.2010, 22:54

mathe_mrg

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1. Was ist eine Indexverschiebung??
2. Wie ich darauf komme, hatte ich ja oben schon erklärt.
Meine eigentliche Frage war ja, ob ich schon den Ansatz richtig hatte, also was zu zeigen ist. Also: ist folgendes richtig?

zu zeigen für n=n+1:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2)=\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit schonmal?

wenn nein, warum? wenn ja, stimmt dann auch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\prod_{k=1}^n (n+1+k) \cdot ((n+1)+1+n+1) = \prod_{k=1}^n (n+1+k) \cdot (2n+3) \end{eqnarray*}$

??? Danke für eure Hilfe!

23.11.2010, 23:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe_mrg
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\prod_{k=1}^n (n+1+k) \cdot ((n+1)+1+n+1) \end{eqnarray*}$

Wieso sollte das gelten? Der letzte Faktor von $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) \end{eqnarray*}$ ist (2n+2).

Zitat:

Original von mathe_mrg
1. Was ist eine Indexverschiebung??

Auch das sollte mal an der Uni ordentlich beigebracht werden. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (n+k) = \prod_{k=0}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$

Bei genauem Hinsehen stehen nämlich links und rechts die gleichen Faktoren.

So, jetzt ziehe aus $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$ den Faktor für k=0 raus und überlege, welche Faktoren fehlen, wenn k bis n+1 laufen soll.

24.11.2010, 13:49

Kawarider90

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vl hilft dir das beim verstehen...es wird ebenfalls eine indexverschiebung vorgenommen

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (4n+2) \end{eqnarray*}$

könnte man auch so schreiben
$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot 2(2n+1)=\prod_{k=1}^n(n+k) \cdot 2(n+n+1) \end{eqnarray*}$

hier sieht man den letzten Faktor
zum schluss nehmen wir unsre Induktionsannahme her und bedenken dabei dass $\begin{eqnarray*} 2 \prod_{k=1}^n(n+k) \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+1+k) \end{eqnarray*}$
multipliziert man nämlich den Faktor 2 mit dem ersten Faktor des Produkts erhält man den letzten Faktor des gesuchten Produkts.

24.11.2010, 13:58

math_mrg

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sorry - vielleicht bin ich echt zu blöd^^

also ich habe ja da stehen, irgendwann:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(4k-2) = \hdots = \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot 2(2n+1) \end{eqnarray*}$

ich brauche aber doch als letzten faktor (2n+2) anstatt 2(2n+1)...oder?

24.11.2010, 14:16

Kawarider90

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das stimmt schon

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (n+n+1) \end{eqnarray*}$ ist....

24.11.2010, 14:18

math_mrg

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ja aber der letzte faktor ist doch (n+1+n+1) oder??

24.11.2010, 14:19

klarsoweit

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Um dahin zu kommen mußt du - und da wiederhole ich mich - eine Indexverschiebung machen.

Die Faktoren müssen schließlich die Form (n+1+k) haben, und nicht (n+k).

24.11.2010, 14:19

Kawarider90

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edit: jetzt hab ich mich verwirren lassen haha

den Faktor 2 mal außen vorlassen

24.11.2010, 14:30

math_mrg

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wirklich auf die gefahr hin, dass ihr mich für total dumm erklärt.....

aber das mit der indexverschiebung raff ich nicht. und warum ich den faktor 2 außenvor lassen soll, auch nicht....

wie sieht denn die indexverschiebung konkret aus, um aus (n+n+1) (n+1+n+1) zu machen?

24.11.2010, 14:39

Kawarider90

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nein nicht außen vor lassen das mein ich nicht

ich wollt nur wissen was das hier bedeutet

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n(n+k) \cdot (n+n+1) \end{eqnarray*}$ ...
also für k=n+1

24.11.2010, 14:51

klarsoweit

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Zur Indexverschiebung:

Es ist $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (n+k) = (n+1) \cdot (n+2) ... \cdot (n + n) = (n+1 + 0) \cdot (n+1 + 1) \cdot ... \cdot (n + 1 + n - 1) = \prod_{k=0}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch umformen: $\begin{eqnarray*} \prod_{k=0}^{n-1} (n+1+k) = (n+1) \cdot \prod_{k=1}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$

Insgesamt haben wir jetzt also:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} (n+k) = (4n+2) \cdot \prod_{k=1}^n (n+k) = 2 \cdot (2n+1) \cdot (n+1) \cdot \prod_{k=1}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege nur noch, wie die Faktoren von $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$ für k=n und k=n+1 aussehen.

@Kawarider90: ich würde es begrüßen, wenn du dich hier raushältst.

24.11.2010, 19:08

math_mrg

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okok langsam wirds...danke für deine geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber die faktoren von deinem produkt gibt es ja gar nicht, weil das k ja nur bis n-1 läuft, oder?

auf was muss ich denn kommen? darauf, dass $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} (n+k) = (4n+2) \cdot \prod_{k=1}^n (n+k) = 2 \cdot (2n+1) \cdot (n+1) \cdot \prod_{k=1}^{n-1} (n+1+k) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k) \end{eqnarray*}$ wird, oder?

25.11.2010, 10:16

math_mrg

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danke

smile

jetzt hab ichs^^ stand aufm schlauch wg. der indexverschiebung, hab se aber jetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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