Beweis von Rechenregeln bei Konvergenz von Folgen

23.11.2010, 13:54

alex2007

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Beweis von Rechenregeln bei Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
Hey, ich muss folgende Aufgabe lösen und brauche dazu paar Anregungen:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n}\right\}_{n\in \mathbb N }, \left\{ b_{n}\right\}_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Beweisen sie:

a) $\begin{eqnarray*} a_{n} \to a, b_{n} \to b \Rightarrow a_{n}+ b_{n} \to {a+ b} \end{eqnarray*}$ .
b) $\begin{eqnarray*} a_{n} \to 0, \left\{ b_{n}\right\}_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} b_{n} \to 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
a) ich denke, dass man hier mit der Beschränkung der beiden Folgen beginnen muss und daraus ne umgebung mit nem Radius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ schlussfolgern muss. ist das erstmal richtig? danach hätte ich ein beliebiges aber festes $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ festgelegt und damit den Beweis geführt. Ich weis aber nicht so recht, wie ich das anstelle. Oder ist die komplette Überlegung Unfug?

b)Hier würde ich sagen: da $\begin{eqnarray*} \left\{ b_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, kovergiert b. Da nun $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. Muss ich also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} b_{n} = \lim_{n \to \infty } a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$ gilt. Da ja auf der rechten Seite dann " $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$ stehen würde. Somit käme also für die Konvergenz des Produkts beider folgen 0 raus. Aber wie zeige ich dieses Gesetz? Denkweise so richtig?

23.11.2010, 14:06

klarsoweit

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RE: Beweis von Rechenregeln bei Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von alex2007
a) ich denke, dass man hier mit der Beschränkung der beiden Folgen beginnen muss und daraus ne umgebung mit nem Radius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ schlussfolgern muss. ist das erstmal richtig?

Nein. Du mußt mit der Konvergenz der Folgen argumentieren und daraus folgern, daß auch für die Summe der Folgen die in der Grenzwertdefinition verlangten Bedingungen erfüllt sind.

Zitat:

Original von alex2007
b)Hier würde ich sagen: da $\begin{eqnarray*} \left\{ b_{n}\right\} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, kovergiert b.

Unfug. Die Folge $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, konvergiert aber nicht.

Hier gilt dasselbe wie oben. Zeige, daß für das Produkt die in der Grenzwertdefinition verlangten Bedingungen erfüllt sind.

23.11.2010, 14:38

alex2007

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Also soll ich allgemein die Konvergenz der Folgen beweisen (per Defintion Konvergenz) und dann zeigen, dass es auch für die Summe bzw. das Produkt gilt?

richtig?

23.11.2010, 14:58

klarsoweit

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RE: Beweis von Rechenregeln bei Konvergenz von Folgen
Genau. Am besten schreibst du mal für die Folge $\begin{eqnarray*} c_n := a_n + b_n \end{eqnarray*}$ die Grenzwertdefinition hin, wenn diese gegen a+b konvergieren soll.

23.11.2010, 15:25

alex2007

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$\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n} \right\} =\left\{ a\right\}_{n\in \mathbb N },<br /> <br /> \left\{ b_{n} \right\} =\left\{ b\right\}_{n\in \mathbb N } <br /> <br /> \Rightarrow d(an,a) = d(a,a) =0 < \epsilon, \forall \epsilon>0, n\in \mathbb N, <br /> <br /> \left\{ b_{n}\right\} analog<br /> <br /> \Rightarrow a= \lim_{n \to \infty } a_{n} , b= \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{n}:= a_{n} + b_{n}<br /> \Rightarrow \left\{ c_{n} \right\} = \left\{ c\right\}<br /> <br /> \Rightarrow d(c_{n},c) = d(c,c) = d(a+b,a+b) =0 < \epsilon, \forall \epsilon >0, n\in \mathbb N <br /> <br /> \Rightarrow \lim_{n \to \infty } c_{n} = c<br /> <br /> \Rightarrow \lim_{n \to \infty } (a_{n} +b_{n})= a+b<br /> <br /> \Rightarrow Behauptung \end{eqnarray*}$

Korrekt?

23.11.2010, 15:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d(an,a) = d(a,a) =0 < \epsilon, \forall \epsilon>0, n\in \mathbb N, \end{eqnarray*}$

Was soll mir das sagen? Das ist doch nicht die Definition der Konvergenz? verwirrt

verwirrt

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23.11.2010, 15:51

alex2007

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Wir haben das in der Vorlesung so definiert!

Sei (X,d) metrischer Raum, Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n} \right\} _{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in X.
Sie heißt konvergent, falls $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$ existstiert mit:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists n_{0}= n_{0} (\epsilon) \in \mathbb N : d(a_{n},a)< \epsilon \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$

a heißt Grenzwert(Limes) der Folge.

Das ist die Defintion aus der Vorlesung!

23.11.2010, 16:02

klarsoweit

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Das ist richtig. Du hattest aber vorhin was völlig anderes geschrieben.

So. Jetzt mußt du zeigen, daß dies auch für die Folge c_N : a_n + b_n gilt.

23.11.2010, 16:10

alex2007

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habe ich das nicht getan?

ich zeigte, dass wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \to b \end{eqnarray*}$ , dann muss es sich um konstante Folgen handeln. <Das habe ich dann in die Bedingungen für Konvergenz eingesetzt und den Grenwert damit bewisen. Dann habe ich c= a+b definiert und das ist dem zu Folge auch ne konstante Folge. Dann habe ich nach dem selben Schema bewiseon, das $\begin{eqnarray*} c_{n} \to c \end{eqnarray*}$ gilt und wenn ich jetzt für c= a+b einsetze folgt die Behauptung. ist doch richtig, oder etwa nicht?

zugegeben, die reihenfolge oben muss anders sein, ich muss aus dem Grenzwert a und b (der ja gegeben ist) auf eine konstante Folge schließen und dann c beweisen, wie ich es tat. Oder?

23.11.2010, 19:10

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Zitat:

Original von alex2007
habe ich das nicht getan?

Nöö.

Zitat:

Original von alex2007
ich zeigte, dass wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \to a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \to b \end{eqnarray*}$ , dann muss es sich um konstante Folgen handeln.

Unfug. Ist etwa a_n = 1/n eine konstante Folge? Dennoch konvergiert es gegen Null.

23.11.2010, 23:29

alex2007

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hm...also so richtig steig ich nicht dahinter. Kannst du mir nen Ansatz geben? Vielleicht hilft mir das auf die Sprünge

24.11.2010, 08:45

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Der Ansatz wäre, mal aufzuschreiben, was überhaupt laut Definition des Grenzwertes zu zeigen ist.

24.11.2010, 17:57

alex2007

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Na zu zeigen wäre quasi, das gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} + \lim_{n \to \infty } b_{n} = \lim_{n \to \infty } (a_{n} + b_{n} ) \end{eqnarray*}$

wenn ich zeige, dass das gilt, dann brauche ich ja nur noch die gegeben grenzwerte einsätzen und es folgt die behauptung. richtig?

Wie zeige ich, dass diese "rechenregel" gilt?

25.11.2010, 10:45

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Eigentlich mußt du zeigen, daß die Folge c_n := a_n + b_n konvergiert und daß gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_{n} + b_{n} ) = a + b \end{eqnarray*}$ .

Dazu solltest mal aufschreiben, was da laut Definition zu zeigen ist.

25.11.2010, 23:39

alex2007

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Sei $\begin{eqnarray*} c_{n} := a_{n} + b_{n} \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} | c_{n} - c | < \epsilon \forall n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ .

So, soweit müsste das erstmal stimmen. Richtig?

Jetzt muss ich halt in den Betrag für den Abstand a+b einsetzen. An deisem Punkt komme ich eben nicht weiter. Wie zeige ich das jetzt, dass das kleiner epsilon ist? Ich habe ja über die folgen keine weiteren aussagen, außer dass eine folge gegen a konvergiert und die andere gegen b. Ist das mein Ansatz? Soll ich jetzt einfach sagen, dass wenn ich n groß genug wähle ich ja den Grenzwert für die Folge einsetzen kann? dann käme ich ja bei der Betrags Gleichung wieder auf "0" und das ist ja soweiso so für jedes n kleiner epsilon! Ist dass der richtige weg?

26.11.2010, 08:51

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Zitat:

Original von alex2007
Sei $\begin{eqnarray*} c_{n} := a_{n} + b_{n} \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} | c_{n} - c | < \epsilon \forall n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ .

So, soweit müsste das erstmal stimmen. Richtig?

Nein. Du nimmst da genau das als gegeben an, was eigentlich zu zeigen ist. Auch das nachfolgende ist eher diffus bis falsch. Du kannst nicht einfach für große n die Folge durch ihren Grenzwert ersetzen. Es gibt Folgen, die erreichen ihren Grenzwert nie. Egal, wie groß du das n wählst, da gibt es immer noch einen Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert.

Wie immer in der Mathematik, muß man formal ordentlich arbeiten. Also was ist nun zu zeigen? Wir wollen zeigen, daß die Folge $\begin{eqnarray*} c_n := a_n + b_n \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert c hat und daß c = a + b gilt. In der mathematischen Formelsprache heißt das:

Wir wollen zeigen, daß es für c:= a + b und für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so daß $\begin{eqnarray*} |c_n - c| < \epsilon ~ \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun epsilon > 0 beliebig gewählt. Wir setzen $\begin{eqnarray*} \epsilon^* := \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen, daß die Folge a_n gegen a und die Folge b_n gegen b konvergiert. Es gibt also zu $\begin{eqnarray*} \epsilon^* \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n1_0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} n2_0 \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon^* ~ \forall n \geq n1_0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |b_n - b| < \epsilon^* ~ \forall n \geq n2_0 \end{eqnarray*}$

Wir wählen nun $\begin{eqnarray*} n_0 := max(n1_0, n2_0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} |c_n - c| = |a_n + b_n - (a + b)| = |a_n - a + b_n - b| \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \epsilon^* + \epsilon^* = \epsilon ~ \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Und hurra, fällt was auf?

27.11.2010, 01:18

alex2007

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow | (a_{n} + b_{n}) - ( a + b) | < \epsilon \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} + b_{n} \rightarrow a+b \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Sehr schön, danke. Jetzt vertshe ich. Ich darf nicht vorraussetzen, was ich beweisen will. dass widerspricht auch jeglicher Logik. Dennoch frage ich mich, wie du auf die idee mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon* = \frac {\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen bist. Sicherlich weil du schon haufenweiser solcher Aufgaben gelöst hast und es "Routine" ist. Aber kannste mir nen Tip geben, wie ich mir da am besten n epsilon vorgebe? Oder gibts ne Herangehensweise, die du empfielst um mir ein gutes epsilon zu überlegen.

eine Frage noch, wieso das $\begin{eqnarray*} n_{0}:= max(n1_{0},n2_{0}) \end{eqnarray*}$ ? Was ist der Hauptgrund für diese Fetslegung? offenscihtlich ist sie wichtig, dass ich am ende überhaupt die entscheidende Ungleichung aufschreiben kann. Ich möchte halt nicht einfach nur sehen "ah so macht man das", sondern ich möchte VERSTEHEN, warum man das so macht. Ich hasse Leute, die Beweise so oder so lösen, weil sie das irgendwo gesehen haben. Ich möchte die Mathematik verstehen.

27.11.2010, 14:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von alex2007
Dennoch frage ich mich, wie du auf die idee mit dem $\begin{eqnarray*} \epsilon* = \frac {\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen bist. Sicherlich weil du schon haufenweiser solcher Aufgaben gelöst hast und es "Routine" ist.

In der Tat ist das Routine und ich kann daher keine Idee für mich beanspruchen. Es gibt da auch kein Kochrezept. Man muß sich einfach in die Materie reindenken und schauen, was geht.

Zitat:

Original von alex2007
eine Frage noch, wieso das $\begin{eqnarray*} n_{0}:= max(n1_{0},n2_{0}) \end{eqnarray*}$ ? Was ist der Hauptgrund für diese Fetslegung?

Aufgrund da Konvergenz haben wir folgende Ungleichungen:

$\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \epsilon^* ~ \forall n \geq n1_0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |b_n - b| < \epsilon^* ~ \forall n \geq n2_0 \end{eqnarray*}$

Ich brauche aber nun beides gleichzeitig. Daher wähle ich $\begin{eqnarray*} n_{0}:= max(n1_{0},n2_{0}) \end{eqnarray*}$ . Wenn nun n >= n_0 ist, dann ist auch n >= n1_0 und auch n >= n2_0.

28.11.2010, 20:32

alex2007

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Wie mache ich das ganze bei b? da habe ich ja letztendlich keinen 2. grenzwert für b_n, sondern nur dass die folge beschränkt ist!

29.11.2010, 10:06

klarsoweit

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Auch hier gilt: erstmal hinschreiben, was laut Definition zu zeigen ist. Dann schauen, was aufgrund der Vorgaben machbar ist.

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