Integrieren (Physikaufgabe)

23.11.2010, 16:06

Gipsyjack

Integrieren (Physikaufgabe)

Auf einer Baustellee hebt ein Kran eine Wann (50kg) gefüllt mit Sand (500kg) auf eine Höhe von 40m, währenddessen strömt gleichmäig Sand aus der Wanne, sodass am Ende nur noch 100kg übrig sind. Die Geschwindigkeit sei konstant.

Berechnen sie durch integration die Arbeit, die der Kran an der Wanne und am Sand verrichtet.

Da die Masse veränderlich ist gilt für die Kraft:

$\begin{eqnarray*} F=m*a= m(Wanne)*g + ((m(Sand)-( (delta)m*z)*g) \end{eqnarray*}$

somit ist das integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^s \! F(s) \, ds = \int_0^s \! gm(Wanne) + ((m(Sand)-( (delta)m*s)*g \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W= gm(Wanne)*z + gm(Sand)*z + 0.5g*(m(Sand)-m(Rest))*z² \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt jedoch ausrechne kommt ein ergebnis raus das nicht sein kann, da es negativ ist.. und die einheiten stimmen auch net.. find aber einfach keinen anderen ansatz irgendwie
hoffe man kann mir helfen smile

MfG

23.11.2010, 20:08

Abakus

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RE: Integrieren (Physikaufgabe)

Zitat:

Original von Gipsyjack
Da die Masse veränderlich ist gilt für die Kraft:

$\begin{eqnarray*} F=m*a= m(Wanne)*g + ((m(Sand)-( (delta)m*z)*g) \end{eqnarray*}$

somit ist das integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^s \! F(s) \, ds = \int_0^s \! gm(Wanne) + ((m(Sand)-( (delta)m*s)*g \, dx \end{eqnarray*}$

Hallo!

Was bedeuten deine Variablen (delta und z) ? Bei deinen Integral integrierst du nach x, das kommt aber gar nicht vor? Insgesamt liest sich das wenig klar.

Hier fehlt mir eine Funktion, die konkret angibt, wieviel Masse zu welchem Zeitpunkt bzw. in welcher Höhe vorhanden ist. Diese Funktion wäre dann im Integranden verwendbar.

Grüße Abakus smile

23.11.2010, 21:33

Gipsyjack

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sry bin da etwas im latex durcheinander gekommen...

z= höhe

also die FUnktion welche die Kraft beschreibt ist:

$\begin{eqnarray*} F(z)=(m(z) + m(Wanne) )*g= m(Wanne)*g + ((m(Sand)-( (delta)m*z)*g) \end{eqnarray*}$

da m(Wanne)g immer konstant ist muss ich noch die veränderte masse hinzuzählen.

m(Sand)- (delta)m soll sein:

m(Sand) = die komplette masse des sandes
delta)m = die veränderliche masse in "kg pro gehobenem meter" da ja pro meter quasi sand rausfällt, multipliziert mit der höhe stimmt das dann wieder von den einheiten..

wenn ich jetzt die kraft F(z) nach z integriere von 0 bis z komme ich auf die verrichtete arbeit.

24.11.2010, 13:01

Ehos

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Die Wanne wird von der Höhe x=0 auf die Höhe x=40 gehoben. Die Gewichtskraft ändert sich dabei in Abhängigkeit vom Wege. Die mechanische Arbeit berechnet man allgemein gemäß dem Integral

$\begin{eqnarray*} W=\int \! F(x) \, dx \end{eqnarray*}$ __________(1)

Da während des Hebens ständig Sand herunterrieselt, nimmt die Gewichtskraft F(x) wie folgt mit der Höhe x ab

$\begin{eqnarray*} F(x)=550-10x \end{eqnarray*}$ __________(2)

Wenn man zur Kontrolle in (2) die Höhe x=0 einsetzt, kommt wie gewünscht am Boden das Gesamtgewicht F=550 raus. Setzt man dagegen in (2) die maximale Höhe x=40 ein, kommt wie gewünscht F=150 raus. Einsetzen von (2) in (1) liefert das Integral

$\begin{eqnarray*} W=\int_0^{40} \! (550-10x) \, dx \end{eqnarray*}$ __________(3)

Es sollte dir nicht schwer fallen, dieses Integral auszurechnen.

24.11.2010, 22:39

Gipsyjack

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Danke, habs gestern abend schonr ausgehabt woltls vorher posten aber kam noch nit dazu!!

nur eine Frage, Das Integral ist somit nur für eine höhe von 50m definiert, wie sieht das dann aus wenn ich die Wanne z.b. 70m oder 80m hoch hebe?

25.11.2010, 09:42

Ehos

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Das Gesamtgewicht (Wanne+Sand) beträgt in Abhängigkeit von der Höhe x:

$\begin{eqnarray*} F(x)=550-10\cdot x \end{eqnarray*}$

In der Höhe x=50m ergibt diese Funktion das Leergewicht F(x)=50. Für Höhen x>50m ist die Wanne leer und das Gewicht ist konstant. Dann rechnet man einfach ohne Integral: Arbeit=Kraft mal Weg.

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