induktion binomialkoeffizient ganze zahl

23.11.2010, 16:15

pivotvariable

induktion binomialkoeffizient ganze zahl

also diese Aufgabe irritiert mich gerade:
Es sei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Binomialkoeffizient für $\begin{eqnarray*} k \in \left\{ 0,1,2,.....,n\right\} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Man soll mit Hilfe einer Induktion in n zeigen , dass der Binomialkoeffizient eine ganze Zahl ist.....?
So eine Induktion ist mir völlig unklar vom INduktionsanfang bis zum Induktionsschritt.....

23.11.2010, 16:17

René Gruber

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Kennst du das Pascalsche Dreieck, und dessen "Aufbaugesetz" ? Das ist der Schlüssel zum Induktionsschritt.

23.11.2010, 16:44

pivotvariable

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Hmmm....ich habe davon schon einmal gehört.....n für die zeile und k für die spalte.....aber explizit einen zusammenhang und genaue infos über den aufbau habe ich eher nicht.... verwirrt

24.11.2010, 18:27

pivotvariable

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Also der INduktionsanfang für n = 1 und khttp://www.matheboard.de/addreply.php?threadid=435465 = 0 ist klar ...

Bringt mir davon etwas : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} =\frac{n!}{\left(n-k\right)!\left(k\right)! } \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n\\k-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(für den schritt)??
I need Help!

24.11.2010, 18:33

René Gruber

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Die Aussage, die du per Induktion nachweisen kannst, lautet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ : Die Werte $\begin{eqnarray*} \binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n-1},\binom{n}{n} \end{eqnarray*}$ sind sämtlich ganze Zahlen.

Man könnte dazu auch sagen: Alle Zahlen der $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks sind ganz.

Der ganze Witz an der Sache ist, dass die Summe $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ hier im Induktionsschritt einfach nur so zu lesen ist:

Ganze Zahl + Ganze Zahl = Ganze Zahl

24.11.2010, 18:45

pivotvariable

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Ja schon oK......aber es langt doch nicht wenn ich den Induktionsanfang mache und das Ergebnis habe 1 aha ganze Zahl.....und beim induktionsschritt die Umfprmung nehem und sage ganze Zahl plus ganze Zahl......dass muss ich doch erst nachweisen aber wie?

24.11.2010, 18:50

René Gruber

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Wahrscheinlich ist die Sache ZU einfach, um sie zu begreifen. Na denk nochmal genau drüber nach, oder schlaf drüber. Augenzwinkern

24.11.2010, 18:58

pivotvariable

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hmmm....darf ich das verwenden?? $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 19:41

pivotvariable

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Ich glaube es irgendwie nicht aber wenn ich wie die obengenannte Aussage mein Induktionsvoraussetzung formuliere und den Induktionsschritt gemäß meiner Aufteilung zu ganzer Zahl plus ganzer Zahl aufteile dann sind die beiden Binomialkoeffizinenten gemäß der Induktionsvoraus. auch ganze Zahlen und nach dem Schema eines Induktionsbeweise ist man fertig......mein Gott wie trivial......warum gibt man uns solche aufgaben und gibt dafür mehr Punkte drauf........strange.....thx übrigens Freude

24.11.2010, 20:12

René Gruber

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Wie du siehst, ist es ja doch nicht ganz so einfach, bis man den Gedanken vollständig erfasst hat. Augenzwinkern

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