Herleitung von Reihen aus speziellen Zahlenfolgen

23.11.2010, 16:24	msc77777	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung von Reihen aus speziellen Zahlenfolgen Folgende Aussagen sind ja im allgemeinen bekannt und stehen auch in jedem Formelbuch: n-te Teilsumme einer arithmetische Folge 1. Ordnung: $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{i=1}^ni=\frac{n}{2}\cdot(1+n) \end{eqnarray}$ n-te Teilsumme der Folge der Quadratzahlen: $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ n-te Teilsumme der Folge von Kubikzahlen: $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray}$ Wunderbar. Wir durften an der Uni auch einige solcher expiziten Darstellungen per Induktion beweisen. Doch nun meine Frage: Wie leitet man eine solche Darstellung her? D. h. wie berechnet man eine solche explizite Darstellung? Das interessiert mich brennend und bin froh um eine ungefähre Herangehensweise eines solchen Vorhabens. Vielen Dank!
23.11.2010, 17:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Formel für die erste Potenz schon kennt, kann man die Formel für die 2te Potenz so herleiten: Es ist $\begin{eqnarray} (n+1)^3-1=\sum_{i=1}^n (i+1)^3-i^3=\sum_{i=1}^n 3i^2+3i+1 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung stellt man jetzt nach $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n i^2 \end{eqnarray}$ frei und erhält das Gewünschte. Nun kennt man die Formel für die erste und zweite Potenz und kann sie für die dritte Potenz herleiten: $\begin{eqnarray} (n+1)^4-1 = \sum_{i=1}^n (i+1)^4-i^4 = ... \end{eqnarray}$ usw... Eine alternative Möglichkeit besteht darin, dass man einfach davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^ni^k \end{eqnarray}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray} k+1 \end{eqnarray}$ ist. Dann bestimmt man hinreichend viele Werte dieses Polynoms und mit Hilfe eines LGS dann die Koeffizienten des Polynoms.
23.11.2010, 17:54	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine weitere Möglichkeit ist die Nutzung der Summenformel $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} \quad () \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ multipliziert geschrieben $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n i(i-1)\cdot \ldots \cdot (i-k+1) = \frac{1}{k+1}(n+1)n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \binom{i}{0},\binom{i}{1},\binom{i}{2},\ldots \end{eqnarray}$ bildet nun eine Basis des Vektorraums der Polynome in $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , also kann man insbesondere auch $\begin{eqnarray} i^m \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Basiselemente darstellen, was mit () dann auch eine Formel für $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n i^m \end{eqnarray}$ liefert.

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