Untervektorräume Addieren

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23.11.2010, 17:03	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume Addieren Moin Moin ich habe jetzt ein Aufgabe mit zwei Untervektorräumen von R^3 nämlich U_1 und U_2 Jetzt soll ich zeigen, dass U_1 + U_2 = R^3 ist. Ich scheitere jetzt schon ganz am Anfang, da mir nicht ganz klar ist, wie man Untervektorräume addiert. Ich kenne zwar die direkte Summe welche ja die Räume einfach Vereinigt aber meine beiden Untervektorräume haben in der Schnittmenge mehr als nur 0. Also fällt die direkte Summe schon mal weg. Wie sieht die normale Summe aus? Wird da auch einfach vereinigt? dann wüsste ich nicht, warum man das nicht so schreiben sollte ;-). Oder wird einfach immer ein Element aus dem ersten zu einem Element aus dem zweiten Untervektorraum addiert und das für alle Elemente der Untervektorräume? Ich finde auch irgendwie keine Definition für die Addition von Untervektorräumen in meiner Mitschrift oder in meinem Buch. Ich hoffe ihr könnt da helfen. EDIT: Ich glaub jetz hab ich das falsche Unterforum erwischt, ich hatte nur noch Hochschulmathematik im Kopf und hab einfach auf neues Thema geklickt und ganz vergessen, das das ja noch aufgeteilt ist in Analysis etc.. Eigentlich ist das Lineare Algebra Grüße Martin
23.11.2010, 17:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da dürfte ein einfaches Dimensionsargument helfen, $\begin{eqnarray} \dim U_1 +\dim U_2=? \end{eqnarray}$
23.11.2010, 17:13	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
dim U1 müsste 2 sein und dim U2 müsste auch 2 sein aber das haben wir in der Vorlesung noch nicht gemacht. Also für U1 gilt zum Beispiel (a,b,c) element R^3 mit x = y. also wäre ja eine basis (0,0,1) und (1,1,0) und damit ja dim U_1 = 2 oder? Wäre das richtig, dann hätte ich das mit der Dimension jetz mal nur durch lesen in meinem Buch verstanden aber irgendwie hilft mir das nicht ;-). Ich weiß auch nicht ob mir das jetzt bei dem Addieren helfen soll oder beim Zeigen, dass U1 + U2 = R^3 ist. Von letzterem gehe ich nämlich stark aus, da ich zeigen soll, dass das so ist und nicht prüfen soll. Außerdem soll ich im zweiten Aufgabenteil prüfen, ob das für die direkte Summe immer noch gilt. Grüße Martin
23.11.2010, 17:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr habt also noch nicht die Dimension eines Vektorraums eingeführt? Wie sehen deine Unterräume denn konkret aus?
23.11.2010, 17:23	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendermaßen: $\begin{eqnarray} U_1 := \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 \mid x = 2y\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2 := \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 \mid x = y\} \end{eqnarray}$ erst mal sollten wir dann zeigen, dass die beiden Untervektorräume von R^3 sind das ist ja einfach, einfach die Bedingungen durchgehen, dann die beiden Flächen skizzieren und gucken wie die Schnittmenge aussieht. Jetzt aufgabe c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} U_1+U_1 = R^3 \end{eqnarray}$ gilt. Ist auch U1 + (direkte Summe) U2 = R^3? Begründen Sie Ihre Antwort. Der zweite Teil ist ja schon klar, da die beiden gar keine direkte Summe bilden, da sie sich dafür ja nur in (0,0,0) schneiden dürften. Sie schneiden sich aber in (0,0,t) für alle t in R. Also gehts nur um den ersten Teil der Aufgabe und da ist mir halt schon an sich nciht klar, wie man Untervektorräume addiert. Wenn man weiß, wie man die addiert, müsste man doch nur zeigen, dass in U1+U2 vektoren drin sind, welche ein Erzeugendensystem des R^3 sind oder? Grüße Martin
23.11.2010, 17:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du hast also gezeigt, dass es sich dabei um Unterräume handelt und eine Basis bestimmt? Du könntest zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle B_1, B_2, C_1, C_2 \rangle \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist wobei die $\begin{eqnarray} B_i \end{eqnarray}$ Basisvektoren des ersten und die $\begin{eqnarray} C_i \end{eqnarray}$ Basisvektoren des zweiten Unterraums sind. Sofern ihr ihn schon hattet ist auch der Zassenhaus-Algorithmus eine schöne Sache für solche Fälle.
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23.11.2010, 17:36	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Zassenhaus-Algorithmus hatten wir noch nicht. Mhh die Basisvektoren von U1 wären dann ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ . Die von U2 wären ja: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ Den doppelten kann ich dann ja weg lassen, also habe ich 3 linear unabhängige Vektoren, reicht das schon? oder muss ich noch irgendwie zeigen, dass die drei auch Basisvektoren von R^3 sind? Wenn ja, wie mache ich das? Muss man die vllt miteinander so addieren und mit skalaren multiplizieren, bis man zeigen kann, dass man die drei vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bekommt? Das wäre ja sicher ein Basis des R^3. Dann bleibt nur noch das allgemeine Problem der Addition zweier Untervektorräume.
23.11.2010, 17:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zeigen kannst, dass du 3 linear unabhängige Vektoren hast, dann reicht das schon (was bei den 3 Vektoren recht trivial ist).
23.11.2010, 17:58	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa gut, dann hab ich das auf jeden Fall schon mal richtig ;-) wieder ein Pünktchen in der Hausaufgabe. das Additionsproblem hab ich aber in Aufgabe 1 auch. Sei K ein Körper, W ein K-Vektorraum und seien U1,U2,U3 Untervektorräume von W. Wir definieren: $\begin{eqnarray} V_1 = (U_1+U_2)\cap U_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_2 = (U_1 \cap U_3)+ (U_2 \cap U_3) \end{eqnarray}$ a) Zeige, dass $\begin{eqnarray} V_2 \subseteq V_1 \end{eqnarray}$ b) Gib ein Beispiel für W, U1, U2, U3 an, in dem V1 nicht gleich V2 ist. Jetzt hab ich mir im ersten Moment gedacht, wenn ich U1 und U2 addiere, vereinige ich die einfach. das kann aber ja nicht sein, weil dann V1 = V2 wäre und damit wäre ja aufgabe b) schwer lösbar. Also muss da der Unterschied in der Addition liegen aber da fehlt mir auch jede Idee. Ich mein wenn ich weiß wie man addiert, dann kann ich ja ein x aus V_2 nehmen und zeigen, dass es auch in V1 ist aber irgendwie klappt das ja so nicht. Grüße Martin
23.11.2010, 18:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise definiert man für Unterräume $\begin{eqnarray} U,W\leq V \end{eqnarray}$ die Summe der Unterräume als $\begin{eqnarray} U+W:=\langle U\cup W\rangle = \operatorname{span} (U\cup W) \end{eqnarray}$ , kommst du damit schon weiter?
23.11.2010, 18:27	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh span hatten wir auch noch nicht, aber damit wären das ja alle Elemente, welche entweder in U1 oder in U2 wären. Wenn ich dann aber $\begin{eqnarray} V_1 = (U_1 + U_2) \cap U_3 \end{eqnarray}$ hätte, dann wäre das ja gleich $\begin{eqnarray} V_1 = (U_1 \cup U_2) \cap U_3 \end{eqnarray}$ und das wäre ja = V2 wenn ich das richtig sehe. Damit wird es aber unmöglich ein W,U1,U2,U3 zu finden, so dass V1 nicht gleich V2 ist
23.11.2010, 18:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr hattet vielleicht nicht den Begriff $\begin{eqnarray} \operatorname{span} \end{eqnarray}$ , vllt. heißt das bei euch Erzeugnis, das muss aber eigentlich schon dran gewesen sein. Noch einmal anders geschrieben: Es sei $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} \mathcal V \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ -Vektorraum, $\begin{eqnarray} \mathcal U,\mathcal W \leq \mathcal V \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} U_1+U_2 = \{v\in \mathcal V~\|~\exists u\in\mathcal U,w\in\mathcal W: v=u+w\} \end{eqnarray}$ .
23.11.2010, 18:47	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh doch ich glaub Erzeugnis war letzte Vorlesung dran, hast recht. Also ist U1 + U2 noch mal in anderen Worten sozusagen die Menge aller möglichen Linearkombinationen von Elementen aus U1 vereinigt mit U2? dann hab ich aber keine Ahnung wie ich bei meiner Aufgabe weiter kommen soll :-D. Ich verzweifle echt an LinA. Analysis kann man sich viel schöner vorstellen...
23.11.2010, 18:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss gestehen, ich bekomme die Aussage auf Anhieb auch nicht bewiesen bzw. hab in meinem Beweis irgendwo einen Fehler, da ich damit die Gleichheit $\begin{eqnarray} V_1=V_2 \end{eqnarray}$ zeige... Ich denke selber nochmal drüber nach, falls ein anderer einen Einfall hat, ist er gerne eingeladen diesen zu posten.
23.11.2010, 18:55	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann haben wir ja das selbe Problem ;-). Aber eigentlich muss sich ja ein einfaches Beispiel finden lassen wo man auch so drauf kommen kann ;-) ich probier einfach mal Gegenbeispiele zu finden, vllt merkt man dann, warum die nicht unbedingt gleich sind.
24.11.2010, 08:16	Hans Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich sitze auch an diesem Arbeitszettel. Hallo Martin L Und so weit habe ich es verstanden... Doch kann mir vllt. einer sagen, wie man bei a) vorgeht? Also: Dass U1 und U2 UVR des IR³ sind! Dass man ''nur die Bed.'' zeigen muss, verstehe ich... Nur beim 1./letzten Mal hatte ich es falsch. Wäre sehr dankbar für eine Anregung!
24.11.2010, 18:46	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, jemand mit dem selben Problem ;-) Joa auch wenns jetzt dann wohl zu spät ist, ein paar Anregungen hätte ich ;-). Dass U1 bzw U2 nicht leer sind bekommst du hin? Einfach ein Element des R^3, welches die bedingung x = y bzw x = 2y erfüllt. Dann musst du die Abgeschlossenheit der Addition bzw der Multiplikation zeigen. Dazu nimmst du einfach zwei Elemente welche (WICHTIG) beide in U1 bzw U2 liegen, dadurch weißt du ja schon etwas über diese beiden Elemente. Joa dann addier die mal und guck, ob die immer noch die Bedingung erfüllen, wenn du das Wissen aus dem "WICHTIGEN" Teil nimmst, siehst da du vllt schon was. Ansonsten meld dich noch mal ;-)
24.11.2010, 19:18	Hans Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke und es ist auch toll, dass du dich noch gemeldet hast. Denn schließlich brauche ich es nicht nur für die Punkte bei den Übungen, sondern auch für ''später''... Ich habe es, ich hoffe es, einigermassen hingekriegt, denn so eine ähnliche Aufgabe hatten wir ja auch schon mal.... Das habe ich quasi genauso gemacht.... Nur dass es eine andere Bedingung war.... Also: wie du es teilweise sagtest: x=y <=> x-y=0; x=2y <=> x-2y=0 ...Wie kommst du denn mit den neuen Zetteln vorran?
24.11.2010, 19:24	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nich angeguckt, bin grade erst hier. Ja das was du da hast ist schon mal richtig, wenn du jetzt mal zwei Elemente nimmst aus U1. z.B. $\begin{eqnarray} (a, b, c) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (d, e, f) \end{eqnarray}$ dann weißt du ja, dass $\begin{eqnarray} a = 2b \end{eqnarray}$ ist und dass $\begin{eqnarray} d = 2e \end{eqnarray}$ ist. jetzt addierst du die beiden mal, dann erhälst du ja $\begin{eqnarray} (a+d, b+e, c+f) \end{eqnarray}$ jetzt musst du zeigen, dass auch da gilt: a+d = 2(b+e) Dafür kannst du ziemlich schnell das Vorwissen von oben ausnutzen.
24.11.2010, 19:27	Hans Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, genau! Cool, habe ich, meine ich, auch! Toll! Konntest du denn die Augabe 2. lösen, wusstest du, was da verlangt war?
24.11.2010, 19:35	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa gelöst hab ich sie halb, gewusst was verlangt wird wusste ich aber. Man hat ja ne difinierte addition und ne definierte multiplikation. Jetzt muss man nur die Kriterien für einen Untervektorraum durchgehen, also wieder zeigen, dass das nicht leer ist, dass die Addition kommutativ, Assoziativ ist, dass es ein neutrales und ein inverses Element bzgl Addition gibt, dann für die Skalarmultiplikation zeigen, dass da auch ein neutrales element ist, etc. Manches davon ist ganz einfach zu zeigen, manches irgendwie schwer.

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