Konvergenz einer geometrischen Reihe

23.11.2010, 17:35	Grinsekeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer geometrischen Reihe Guten Abend, ich muss den Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray} a_n = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{4^k} \end{eqnarray}$ bestimmen. Da die Stammfolge alterniert, habe ich mir gedacht, dass ich die Summe folgendermaßen aufspalte: $\begin{eqnarray} a_n = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{4^{2k}} - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{4^{2k+1}} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich zwei geometrische Reihen, aber ich bin ratlos, wie ich davon die Grenzwerte bestimmen soll, zumal die Exponenten ja nicht rein k sind, sondern 2k bzw. 2k+1. Wie mache ich das?
23.11.2010, 17:38	Grinsekeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist übrigens klar, dass die zweite Reihe (1/4) der ersten Reihe beträgt, also brauche ich nur Hilfe bei der ersten
23.11.2010, 17:41	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist m.E. unnötige Mehrarbeit (zudem stimmen deine oberen Summenindizes nicht), warum nicht gleich $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^k}{4^k} = \left( -\frac{1}{4} \right)^k \end{eqnarray}$ zusammenfassen? Geometrische Reihen $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} q^k \end{eqnarray}$ bzw. deren Partialsummen kann man schließlich auch für negative $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ betrachten.
23.11.2010, 17:49	Grinsekeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, so kann ichs natürlich machen... Was stimmt denn an meinen Summenindizes nicht?
23.11.2010, 17:57	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du selber herausfinden: Schreib doch mal die Originalsumme, und dann auch deine Summen jeweils mal für die ersten paar $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf, und vergleiche dann mal beides für diese jeweils festen (!) $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Oder um es kurz zu machen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{4^{2k}} - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{4^{2k+1}} \end{eqnarray}$ ist nicht $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} a_{2n+1} \end{eqnarray}$ .
23.11.2010, 17:57	Grinsekeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem vergaß ich zu sagen, dass ich das Ganze berechnen muss, ohne die Tatsache zu benutzen, dass es $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ ist.
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23.11.2010, 18:00	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es ja auch gar nicht, da es nicht um Reihenwerte, sondern deren Partialsummen geht.
23.11.2010, 18:04	Grinsekeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich soll doch den Grenzwert bestimmen. Und der ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-(-\frac{1}{4}} \end{eqnarray}$ . Aber diese Tatsache darf ich nicht benutzen. Wie kann ich das denn anderweitig machen?
23.11.2010, 18:05	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich halte solche Verbote für Blödsinn. Wenn es sein muss, dann beweise ich diesen Verbotsmenschen halt einfach die Partialsummenformel per Vollständiger Induktion.

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