Facharbeit - Riemannsche Zetafunktion

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PeterH Auf diesen Beitrag antworten »
Facharbeit - Riemannsche Zetafunktion
Meine Frage:
Hallo alle miteinander,
Ich würde wohl demnächst gerne damit anfangen meine Facharbeit zur Riemannschen Zetafunktion zu schreiben und habe mir auch schon ein paar Themen rausgesucht, die ich dazu behandeln will. Diese sind:

- Beweis: Divergenz der Zetafunktion für x=1
- Beweis: Konvergenz der Zetafunktion für x<1
- Herleitung des Ergebnisses pi²/6 für Zeta(2)
- Herleitung zum Zusammenhang mit den Primzahlen (--> Beweis für die
Unendlichkeit der Primzahlen)
- Fortsetzung der Zetafunktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene
- Beweis: Nullstellenfreiheit für Sigma > 1
- Beweis: Zetafunktion ist symmetrisch zu Sigma = 0.5
- Beweis: Die Zetafunktion ist holomorph
- Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion (+ Riemannsche Vermutung)

Ich würde sagen, dass das ja schon eine ganze Menge ist. Dennoch würde ich gerne wissen, was euch noch so einfallen würde. Es gibt ja so viele verschiedene Untersuchungen. Welche würdet ihr sonst noch vermissen, die euch wichtig erscheinen? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen. Mit freundlichen Grüßen,

PeterH

Meine Ideen:
(siehe Oben)
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Facharbeit - Riemannsche Zetafunktion
Hallo Peter,


also eigentlich würde ich dir raten, da du ja wahrscheinlich noch Schüler bist, ein anderes Thema zu suchen. Um diese Dinge zu verstehen, braucht man schon umfangreiches Wissen aus mehreren Uni-Vorlesungen (Ana1, Ana2, Funktionentheorie, etwas analytische Zahlentheorie, dafür vielleicht normale Zahlentheorie).
Ich habe auch im Internet keine Facharbeit zu diesem Thema gefunden, die nicht voll von Fehlern war (und ich meine keine Tippfehler).

Selbst wenn du das Hintergrundwissen hast, ist das Problem immer noch, dass die Facharbeit nur aus dem hintereinanderreihen von in der Schule absolut unbekannten Dingen besteht (sowohl was Fachausdrücke als auch was die Sätze angeht), und das kann nicht der Sinn einer Facharbeit sein.

Such dir also besser ein anderes Thema, um das schreiben einer Arbeit zu lernen, arbeite dich vielleicht in Latex ein, dass ist nützlich später an der Uni und warte mit den Themen, die du dir als Facharbeit aufhalsen willst, bis du später an der Uni bist.



PS: Die Themen die du aufgezählt hast, weden den Umfang einer Facharbeit eher weit überschreiten als unterschreiten. Allerdings macht die Reihenfolge, in der die Themen stehen, so überhaupt keinen Sinn.
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gastmathematiker,

Danke zunächst einmal für deine Antwort. Du hast natürlich Recht, mit deiner Kritik, dass das Thema doch sehr komplex ist. Allerdings muss ich sagen, dass ich die Beweise für das, was ich bereits aufgelistet habe alle kenne und auch verstehe. Zum Umfang der Arbeit: Eigentlich hatte ich mir gedacht, ich könnte einen Teil der Beweise in den Anhang reinnehmen und entsprechend in der Hauptarbeit nur ihre Ergebnisse präsentieren, was den Gesamtinhalt ja schmälern würde.
Du schreibst ebenfalls:

"Selbst wenn du das Hintergrundwissen hast, ist das Problem immer noch, dass die Facharbeit nur aus dem hintereinanderreihen von in der Schule absolut unbekannten Dingen besteht (sowohl was Fachausdrücke als auch was die Sätze angeht), und das kann nicht der Sinn einer Facharbeit sein."

Allerdings frage ich mich, was ist eine Facharbeit in Mathematik sonst? In erster Linie soll ein Verständnis in Bezug auf das selbst gewählte Thema deutlich werden. Wenn ich das Prinzip der Vollständigen Induktion zum Thema nehme, gebe ich doch ebenfalls nur die Arbeit anderer wieder - allerdings auf eine Art und Weise, die klar macht, dass ich es verstanden habe. Ist das hier nicht genau das gleiche? Korrigiere mcih, wenn ich mich irre.
Allerdings ist es vielleicht wirklich klüger das doch sehr breit gefächerte Thema etwas einzuschränken und mich auf einige bestimmte Fragestellungen genau zu konzentrieren.

Mfg PeterH

PS: Die Themenauflistung war das, was mir gerade in den Sinn kam und unterliegt keinem bestimmten Strickmuster, sodass sie auch keinen Sinn machen sollte.
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

"Selbst wenn du das Hintergrundwissen hast, ist das Problem immer noch, dass die Facharbeit nur aus dem hintereinanderreihen von in der Schule absolut unbekannten Dingen besteht (sowohl was Fachausdrücke als auch was die Sätze angeht), und das kann nicht der Sinn einer Facharbeit sein."

Allerdings frage ich mich, was ist eine Facharbeit in Mathematik sonst? In erster Linie soll ein Verständnis in Bezug auf das selbst gewählte Thema deutlich werden. Wenn ich das Prinzip der Vollständigen Induktion zum Thema nehme, gebe ich doch ebenfalls nur die Arbeit anderer wieder - allerdings auf eine Art und Weise, die klar macht, dass ich es verstanden habe. Ist das hier nicht genau das gleiche? Korrigiere mcih, wenn ich mich irre.
Allerdings ist es vielleicht wirklich klüger das doch sehr breit gefächerte Thema etwas einzuschränken und mich auf einige bestimmte Fragestellungen genau zu konzentrieren.



Das sollte meiner Meinung nach aber am besten so passieren, wie es auch an der Uni in irgendwelchen Arbeiten passiert. Du erklärst (und definierst sowie beweist) ausgehend vom aus der Schule bekannten Stoff ein neues Thema. Wenn du also am Ende einem interressierten Klassenkameraden deine Facharbeit gibst, sollte er nach gründlichem durchlesen nachvollziehen können, was du gemacht hast. (Wenn es sich um einen guten Schüler handelt, jetzt nicht gerade einen nehmen, der jede Arbeit maximal 4 schreibt.)

Das wird dir aber bei dem Thema nicht wirklich gelingen. Für diese Dinge brauchst du mindestens:

-Stetigkeit in C und Holomorphie (und viele Sätze über diese)
-gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen
-Vertauschungssätze von Integralen
-Gammafunktion in C
-Theta-Reihen
-Dirichlet-Reihen
etc.

Wenn du das alles in den Anhang packst, wirst du wahrscheinlich auf 100 oder mehr Seiten kommen (mit Erklärungen/Beweisen).


Noch was thematisches:
Zitat:
- Beweis: Zetafunktion ist symmetrisch zu Sigma = 0.5

Das wirst du nicht beweisen können, da das falsch ist.

Zitat:

- Fortsetzung der Zetafunktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene
- Beweis: Die Zetafunktion ist holomorph


Ist dir klar, warum man das so rum nicht machen kann?
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gastmathematiker,

Zitat:
Zitat:
Zitat:
- Fortsetzung der Zetafunktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene - Beweis: Die Zetafunktion ist holomorph
Ist dir klar, warum man das so rum nicht machen kann?


Wie gesagt: Die Themenauflistung war das, was mir gerade in den Sinn kam und unterliegt keinem bestimmten Strickmuster.

Zitat:
Das wird dir aber bei dem Thema nicht wirklich gelingen. Für diese Dinge brauchst du mindestens: -Stetigkeit in C und Holomorphie (und viele Sätze über diese) -gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen -Vertauschungssätze von Integralen -Gammafunktion in C -Theta-Reihen -Dirichlet-Reihen etc.


Naja du hast Recht, dass das wirklich eine Menge zu wissen ist. Allerdings habe ich auch nicht den Anspruch eine Doktorarbeit über das Thema zu schreiben. Daher möchte ich auf einige wenige Themen genauer eingehen (d.h. vielleicht schränke ich auch meine Auflistung noch ein wenig ein).

Zitat:
Noch was thematisches: Zitat: -
Zitat:
Beweis: Zetafunktion ist symmetrisch zu Sigma = 0.5
Das wirst du nicht beweisen können, da das falsch ist.


Wenn das nicht stimmt frage ich mich wirklich woher ich das haben könnte verwirrt ... Vielleicht habe ich auch an die Gammafunktion gedacht. Wie auch immer...

Mfg PeterH
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PeterH
Hallo Gastmathematiker,

Zitat:
Zitat:
Zitat:
- Fortsetzung der Zetafunktion auf die gesamte komplexe Zahlenebene - Beweis: Die Zetafunktion ist holomorph
Ist dir klar, warum man das so rum nicht machen kann?


Wie gesagt: Die Themenauflistung war das, was mir gerade in den Sinn kam und unterliegt keinem bestimmten Strickmuster.



Aber eine Gelegenheit für dich, zu sehen, ob du das Thema durchschaut hast. Du hast dich als Schüler, vermutlich zum Teil mit populärwissenschaftlicher Literatur, in dieses Thema eingelesen. Da kann es sein, dass du auch nur denkst, dass du das Thema verstanden hast. (Das ist kein Vorwurf, sondern ging mir und manchen meiner Kommilitonen genauso, wie wir dann später an der Uni festgestellt haben.)
 
 
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gastmathematiker,

Zitat:
Aber eine Gelegenheit für dich, zu sehen, ob du das Thema durchschaut hast. Du hast dich als Schüler, vermutlich zum Teil mit populärwissenschaftlicher Literatur, in dieses Thema eingelesen. Da kann es sein, dass du auch nur denkst, dass du das Thema verstanden hast. (Das ist kein Vorwurf, sondern ging mir und manchen meiner Kommilitonen genauso, wie wir dann später an der Uni festgestellt haben.)


Ich gebe zu, dass ich bei der Frage doch erstmal grübeln musste. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es das ist, was du hören möchtest, aber ich denke mal du spielst darauf an, dass erst der Beweis, dass die Funktion holomorph ist gewährleisten kann, dass es auch eine eindeutige holomorphe Fortsetzung gibt. Stimmt das so? Danke auf jeden Fall nochmal für deine Antwort.

Mfg PeterH
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist es.

Man kann nur von der Fortsetzung reden, da man zu der holomorphen Zetafunktion für Realteil>1 eine holomorphe Funktion auf C\{1} findet, die für alle z mit Realteil(z)>1 übereinstimmt. Diese holomorphe Fortsetzung ist dann eindeutig. Ohne die Eigenschaft der Holomorphie kann man halt schlecht davon reden, denn es gibt zum Beispiel unendlich viele Möglichkeiten, die Funktion stetig fortzusetzen.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich stimme Gastmathematiker zu, dass das ein extrem Umfangreiches Thema ist, das über das Grundstudium (das eine Facharbeit ruhig tangieren darf) hinausgeht.

Aber ich würde als Argument nicht hernehmen, dass man jeden Beweis und die Beweise der Sätze, die seine Voraussetzung bilden, nachvollziehen können muss, um eine Facharbeit darüber zu schreiben.

Das Beweisen ist in der Schulmathematik noch garnichtmal die Hauptaufgabe (auch wenn du im Rahmen der Arbeit sicher einige Beweise durchziehst).

Es ist ein Unterschied, ob man jeden Beweis nachvollziehen kann oder mit den gegebenen Sätzen einen (ich nenne ihn mal: finalen) Beweis führt.
Es ist ein Unterschied vom Verständnis her, aber es ist genauso ein Unterschied vom Umfang und vom Aufwand.

Beispiele...
Da fällt mir mein Funktionentheo Arbeitsblatt ein. Ich kann die Cauchy-Integralformel noch nicht beweisen (habe die Woche wenig Zeit gehabt u.a. um den Beweis nachzuvollziehen). Aber mit ihr - obwohl ich sie somit nicht vollkommen verstehe - kann ich problemlos die verlangten Aussagen auf dem Blatt beweisen.


Viel stärker scheint mir da der Aufwand sich die Definitionen zu Gemüte zu führen (nicht nur auswendig lernen, sondern sich möglichst etwas darunter vorzustellen).
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Facharbeit - Riemannsche Zetafunktion
Zitat:
Original von Gastmathematiker
Ich habe auch im Internet keine Facharbeit zu diesem Thema gefunden, die nicht voll von Fehlern war (und ich meine keine Tippfehler).


Hallo!

Die Arbeiten hochgeschätzter Mathematiker sind da bisher nicht deutlich besser Big Laugh , kein bisheriger Beweis ist bis heute als korrekt eingeschätzt. Nur ist es halt nicht ganz so offensichtlich.

Interessantes Thema... also ran an die Arbeit.

Grüße Abakus smile
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