Konvergenz von Folgen

23.11.2010, 18:10

Madame

Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
hi smile

ich habe hier zwei folgen

(i) $\begin{eqnarray*} a_{n} =n(\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt[n]{3^n + 4^n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
...Ideen habe ich schon, aber ich bin mir nicht sicher, weil mir mein lösungsweg zu einfach vorkommt...

also zu (i)

ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \sqrt[n]{n}= 1 \end{eqnarray*}$

Dann würde ja gelten $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \sqrt[n]{n}-1= 0 \end{eqnarray*}$ .
und mit der Produktregel konvergiert die Folge dann gegen Null.

Ist das richtig? oder ist es hier sinnvoll mit dem sandwich theorem zu arbeiten?

zu (ii)
ähnllich wie bei (i).
ich weiß, dass gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty }\frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sqrt[n]{3^n + 4^n}= (3^n+4^n)^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Da nun 1/n gegen Null konvergiert, geht die gesamte folge gegen eins, da $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ für alle x gilt.

Lieben Dank für eure Hilfe schonma

madame

23.11.2010, 19:54

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Madame
und mit der Produktregel konvergiert die Folge dann gegen Null.

Unfug. Dann müßte ja die Folge n * 1/n auch gegen Null gehen.

Zitat:

Original von Madame
Da nun 1/n gegen Null konvergiert, geht die gesamte folge gegen eins, da $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ für alle x gilt.

Ebenfalls Unfug. Dann müßte die Folge $\begin{eqnarray*} (4^n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ auch gegen 1 gehen.

23.11.2010, 21:27

Aenny

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RE: Konvergenz von Folgen
Hallo, ich hänge an der gleichen aufgabe, habe allerdings das selbe raus wie Madame.......

wie rechne ich es dann, wenn das falsch ist???

23.11.2010, 21:49

mikellez

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bei (ii) einschließungssatz anwenden

23.11.2010, 22:15

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz von Folgen
Bei (i) schreibe zunächst:

$\begin{eqnarray*} n\left(\sqrt[n]{n}-1\right)=n\left(e^{\frac{\ln(n)}n}-1\right) \end{eqnarray*}$

und bringe dann die altbekannte Abschätzung

$\begin{eqnarray*} e^x-1\geq x \end{eqnarray*}$

ins Spiel.

Bei (ii) betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4\sqrt[n]{\left(\frac 34\right)^n+1} \end{eqnarray*}$

und folgere unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Wurzel oder schätze geeignet nach oben und unten ab.

23.11.2010, 23:13

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Bei (ii) betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4\sqrt[n]{\left(\frac 34\right)^n+1} \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, was das bringen sollte.

Praktischer ist die Anwendung der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 4^n \leq 3^n + 4^n \leq 2 \cdot 4^n \end{eqnarray*}$ . smile

24.11.2010, 06:34

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Bei (ii) betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4\sqrt[n]{\left(\frac 34\right)^n+1} \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, was das bringen sollte.

Naja - man kann den Grenzwert direkt ablesen was hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht ungünstig ist.

Wie gesagt:

Zitat:

Original von Manni Feinbein
und folgere unter Berücksichtigung der Stetigkeit der Wurzel oder schätze geeignet nach oben und unten ab.

Zitat:

Original von klarsoweit
Praktischer ist die Anwendung der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 4^n \leq 3^n + 4^n \leq 2 \cdot 4^n \end{eqnarray*}$ . smile

Das ist dann wohl eher Geschmackssache. So oder so - mehr als ein Einzeiler kommt da nicht raus.

24.11.2010, 08:43

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Manni Feinbein

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Bei (ii) betrachte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4\sqrt[n]{\left(\frac 34\right)^n+1} \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, was das bringen sollte.

Naja - man kann den Grenzwert direkt ablesen was hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht ungünstig ist.

Tut mir leid, ich kann da nichts direkt ablesen.

24.11.2010, 13:38

Madame

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RE: Konvergenz von Folgen
Okay, den Beweis zur (ii) habe ich nun mit euren hinweisen geschafft.

zur (i)

da wir ln noch nicht definiert haben, kann ich das leider so nicht machen unglücklich

gibt es noch eine andere möglichkeit?

grüße

24.11.2010, 18:40

tmo

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Ja.

Zu jedem $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} n > (1+\frac{C}{n})^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ . Warum?

Und dann geht es so weiter:
Forme diese Ungleichung mal hinsichtlich der dir gegebenen Folge etwas um.

24.11.2010, 20:51

Madame

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okay, ich versuche das dann mal.

aber eine generelle frage. was ist denn der grenzwert dieser folge (also jetzt mal ohne beweis)

25.11.2010, 07:57

tmo

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Das kanst du doch selbst herausfinden.

1. kannst du den Vorschlag von Manni Feinbein anwenden (auch wenn du es für den Beweis noch nicht darfst, aber wie man mit dem ln umgeht, weißt du doch bestimmt)

2. wenn du meinem Vorschlag nachgehst, kommst du ja auch auf den Grenzwert. Sogar mit Beweis.

3. x(x^(1/x)-1) in einen Funktionsplotter deiner Wahl eingeben....

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