Ein Integral zum Heulen

18.06.2004, 20:17

m00x

Ein Integral zum Heulen

Hiho.
Kann mich mal einer von meinem Leiden erlösen und mir sagen, was ich beim Lösen von
$\begin{align*} \int_{-1}^{1}{\sqrt{1-x^2}\cdot dx} \end{align*}$ falsche mache?
Meine Rechenschritte:
Substitution:
$\begin{align*} x=sin(u) \end{align*}$
$\begin{align*} u=sin^{-1}(x) \end{align*}$
$\begin{align*} dx=cos(u)\cdot du \end{align*}$
Neue obere Grenze: $\begin{align*} \frac{1}{2}\cdot \pi \end{align*}$
Neue untere Grenze: $\begin{align*} -\frac{1}{2}\cdot \pi \end{align*}$
Alles zusammen:
$\begin{align*} \int_{-\frac{1}{2}\cdot \pi}^{\frac{1}{2}\cdot \pi}{\sqrt{1-cos^2(u)}\cdot cos(u)\cdot du} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_{-\frac{1}{2}\cdot \pi}^{\frac{1}{2}\cdot \pi}{\sqrt{sin^2(u)}\cdot cos(u)\cdot du} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_{-\frac{1}{2}\cdot \pi}^{\frac{1}{2}\cdot \pi}{cos^2(u)\cdot du} \end{align*}$
So, jetzt will ich partiell integrieren:
$\begin{align*} \int{cos^2(x)\cdot dx}=\int{cos(x)\cdot cos(x)\cdot dx} \end{align*}$
$\begin{align*} = cos(x)\cdot sin(x)+\int{sin^2(x)\cdot dx} \end{align*}$
Analog dazu für $\begin{align*} \int{sin^2(x)\cdot dx} \end{align*}$ :
$\begin{align*} \int{sin^2(x)\cdot dx}=\int{sin(x)\cdot sin(x)\cdot dx} \end{align*}$
$\begin{align*} = -sin(x)\cdot cos(x)+\int{cos^2(x)\cdot dx} \end{align*}$

Hier muss sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen haben, denn bei Einsetzen von $\begin{align*} \int{sin^2(x)\cdot dx} \end{align*}$ löst sich alles auf und es steht $\begin{align*} 0=0 \end{align*}$ da. Wo habe ich hier den Bock geschossen?

Gruß
Hanno

18.06.2004, 20:27

BraiNFrosT

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RE: Ein Integral zum Heulen

Zitat:

Original von m00x

$\begin{align*} \int_{-\frac{1}{2}\cdot \pi}^{\frac{1}{2}\cdot \pi}{\sqrt{sin^2(u)}\cdot cos(u)\cdot du} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_{-\frac{1}{2}\cdot \pi}^{\frac{1}{2}\cdot \pi}{cos^2(u)\cdot du} \end{align*}$

Diesen Schritt verstehe ich nicht ganz.
Müsste dort nicht stehen :

$\begin{align*} \Bigint~(sin(u)\cdot cos(u))~du \end{align*}$

?

18.06.2004, 20:36

m00x

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Da haben wir's schon. Das habe ich die ganze Zeit übersehen, so ein Mist. danke dir! Ich versuche es jetzt nochmal und melde mich dann, falls es nicht klappen sollte.

Trotzdem würde mich die korrekte Lösung des Integrals $\begin{align*} \int{cos^2(x)\cdot dx} \end{align*}$ schon mal interessieren.

Gruß und Dank
Hanno

18.06.2004, 20:45

m00x

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Argh NEIN, da war zuvor ein Fehler und die Folgerechnung war richtig.
Es muss heißen:
$\begin{align*} \sqrt{1-sin^2(x)}=cos(x) \end{align*}$
und schon geht es weiter mit meinen Problemen. Siehst du im Folgenden einen Fehler?

Gruß
Hanno

18.06.2004, 20:51

BraiNFrosT

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RE: Ein Integral zum Heulen
Das hast du ja bereits :

$\begin{align*} \int{cos^2(x)\cdot dx}=\int{cos(x)\cdot cos(x)\cdot dx} \end{align*}$

$\begin{align*} = cos(x)\cdot sin(x)+\int{sin^2(x)\cdot dx} \end{align*}$

Nun schreib wieder für sin²(x) = 1 - cos²(x)
und trenn das Integral.
Dann ist die Lösung

$\begin{align*} 2\Bigint~cos^2(x)~dx=sin(x)cos(x)+x \end{align*}$

Hoffe ich hab keinen Vorzeichenfehler gemacht.

18.06.2004, 21:05

m00x

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Das ist es! Wow danke, genau die Lösung hat mein Taschenrechner auch, aber eben den Rechenweg konnte ich nicht nachvollziehen. Tztz, diese Tricks immer mit dem Umformen!
Danke!

Gruß
Hanno Gott

18.06.2004, 23:34

Philipp-ER

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Hier stand ein falscher Einwand.

18.06.2004, 23:39

Irrlicht

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Philipp: Das Problem, was du da - jetzt nicht mehr - festgestellt hast, existiert hier nicht. smile

Das Integral im Starter heisst richtig
$\begin{align*} \bigint_{-\pi/2}^{\pi/2}\, \sqrt{1-\sin^2(u)} \cos(u)\,du = \bigint_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sqrt{\cos^2(u)}\cos(u)\,du \end{align*}$

Aber die "Entwurzelung" muss natürlich trotzdem begründet werden.

18.06.2004, 23:51

Philipp-ER

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Jepp, hatte nur beim Drüberlesen sqrt(sin(x)^2) gesehen und habe dann erst danach entdeckt, dass das ein Schreibfehler war. Der Kosinus macht in diesem Bereich natürlich keine Probleme.

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