Frage zu linearer Unabhängigkeit

23.11.2010, 19:20	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu linearer Unabhängigkeit Nehmen wir an, ich habe einen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ Körper) und $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,...,v_n\} \in V \end{eqnarray}$ . Diese Familie ist linear unabhängig in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Ich bilde mir einen Vektor $\begin{eqnarray} w = \sum_{i=1}^n v_i \end{eqnarray}$ und füge diesen Vektor $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ der o.g. Familie hinzu und bekomme: $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,...,v_n, w\} \in V \end{eqnarray}$ . Ich möchte nun zeigen, daß diese neue Familie linear abhängig ist und im Anschluss die lineare Unabhängigkeit, wenn ich nur n Vektoren dieser neuen Familie betrachte. ___ Hier habe ich: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot v_i + \lambda_w\cdot w = 0 \end{eqnarray}$ oder anders geschrieben: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot v_i + \lambda_w\cdot \sum_{i=1}^n v_i= 0 \end{eqnarray}$ Ich weiß ja aus obiger Voraussetzung, daß $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot v_i \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist, also $\begin{eqnarray} \forall \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ . Bleibt übrig: $\begin{eqnarray} \lambda_w\cdot \sum_{i=1}^n v_i= 0 \end{eqnarray}$ Da ich aber weiß, daß $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n v_i \ne 0 \end{eqnarray}$ ist, muß doch $\begin{eqnarray} \lambda_w = 0 \end{eqnarray}$ sein und damit wäre diese neue Familie auch linear unabhängig. Verstehe das nicht. Wo mache ich den elementaren Fehler? Danke für eure Hilfe. Ibn Batuta
23.11.2010, 19:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler ist einfach, dass du aus $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i + \lambda_ww=0 \end{eqnarray}$ folgerst, dass $\begin{eqnarray} \lambda_i = 0 \end{eqnarray}$ für alle i gilt. Dafür gibt es keinen Grund. Dass $\begin{eqnarray} \{v_1, v_2, \dotsc, v_n, w\} \end{eqnarray}$ linear abhängig ist, ist doch trivial. Genau so wurde w ja gewählt. Also Linearkombination der übrigen.
23.11.2010, 19:53	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi tmo, danke für deine Antwort. Das muß ich erstmal verdauen. Ibn Batuta

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »