Riccati - DGL

16.11.2006, 17:18	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Riccati - DGL Hi... ich habe eine Riccati -DGL gegeben in der Form: $\begin{eqnarray} y' = f_0(x)y^2 + f_1(x)y + f_2 \end{eqnarray}$ jetzt soll ich zwei Funktionen f(x) und g(x) finden, so dass sich mit der Substitution: $\begin{eqnarray} z = f_0y + g ~~(1) \end{eqnarray}$ die Riccati DGL in die Normalform $\begin{eqnarray} z' = z^2 - f(x) \end{eqnarray}$ bringen lässt... ich komme aber nicht wirklich weiter: wir nehmen also an, es gäbe so eine Substitution, dann gilt: (1) ableiten... $\begin{eqnarray} z' = f_0'(x)y + f_0(x)y' + g' \end{eqnarray}$ für y' setze ich meine DGL ein... $\begin{eqnarray} z' = f_0'(x)y + f_0(x) [f_0(x)y^2 + f_1(x)y + f_2] + g' \end{eqnarray}$ jetzt rechnen wir noch die Normalform aus: $\begin{eqnarray} z^2 - f(x) = (f_0y +g)^2 - f = f_0^2y^2 + 2gf_0y + g^2 - f \end{eqnarray}$ und dann setzen wir das gleich: $\begin{eqnarray} f_0^2y^2 + 2gf_0y + g^2 - f = f_0'y + f_0^2y^2 + f_0f_1y + f_0f_2 + g' \end{eqnarray}$ ab hier komme ich einfach nicht weiter... hab schon versucht, $\begin{eqnarray} y = \frac{z-g}{f_0} \end{eqnarray}$ zu setzen, aber dann sehe ich auch nicht mehr... ich hab ja nur eine Gleichung für zwei unbekannte, da bräuchte ich entweder noch ne Gleichung oder n gutes Auge, für ne passende Lösung... habt ihr ne Idee?
16.11.2006, 17:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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16.11.2006, 20:47	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riccati - DGL Hi Sunwater, kann man da nicht auch so rangehen: $\begin{eqnarray} y(x)=u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=uv'+u'v \end{eqnarray}$ wenn man das dann einsetzt ergibt sich: $\begin{eqnarray} uv'+u'v=f_0 u^2v^2+f_1 uv +f_2 \end{eqnarray}$ und das ein bißchen umgeschrieben: $\begin{eqnarray} [u]v'+[u'-f_1 u]v=[f_0 u^2]v^2 +f_2 \end{eqnarray}$ jetzt würde ich hier einfach sagen das folgendes gilt: $\begin{eqnarray} u'-f_1 u=0 \end{eqnarray}$ das würde heißen: $\begin{eqnarray} u=e^{\int{}{}f_1 (x) dx} \end{eqnarray}$ und dann bekommt man: $\begin{eqnarray} v'=[f_0 u]v^2 +\frac{f_2}{u} \end{eqnarray}$ wobei dann deine gesuchte Normalform folgendes wäre: $\begin{eqnarray} v'=[f_0 \cdot e^{\int{}{}f_1 (x) dx}]v^2 -[-f_2 \cdot e^{\int{}{}-f_1 (x) dx}] \end{eqnarray}$ oder muss die Funktion vor dem $\begin{eqnarray} v^2 \end{eqnarray}$ umbedingt konstant sein, dann müsste ich nochmal überlegen. Gruß Jan
17.11.2006, 19:44	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ne das funktioniert leider nicht so, weil du musst vor deinem v^2 gar keinen Faktor stehen haben!!! aber ich habs mittlerweile raus, ich dachte nur die Lösung sieht so doof aus, dass sie wahrscheinlich falsch ist, aber sie stimmt doch! freu

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