supA+B = supA + supB

23.11.2010, 20:07

diddy449

supA+B = supA + supB

Meine Frage:

$\begin{eqnarray*} A,B\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , nach oben beschränkt und es ist definiert $\begin{eqnarray*} A+B:={a+b|a\in A, b\in B} \end{eqnarray*}$

z.z. $\begin{eqnarray*} supA+B = supA + supB \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
über den Dedenkindschen Schnitt
$\begin{eqnarray*} t_{a}\geq a, t_{b}\geq b<br /> \Rightarrow t_{a}=supA, t_{b}=supB<br /> \Rightarrow t_{a}+t_{b}\geq a+b<br /> \Rightarrow t_{a}+t_{b}=supA+B<br /> \Rightarrow supA+B=supA+supB \end{eqnarray*}$

Von dem zweiten auf dem dritten Schritt bin ich mir nicht sicher, ob ich das so einfach machen darf, oder ob dieser Ansatz überhaupt richtig ist.
Vielen Dank für die Hilfe

23.11.2010, 23:13

diddy449

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RE: supA+B = supA + supB
Vielleicht ist meine Idee etwas verkürzt:
Darum hier nochmal Erläuterungen zu meinen Überlegungen.

Zitat:

Original von diddy449
Meine Frage:

$\begin{eqnarray*} A,B\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , nach oben beschränkt und es ist definiert $\begin{eqnarray*} A+B:= {a+b|a\in A, b\in B} \end{eqnarray*}$

z.z. $\begin{eqnarray*} supA+B = supA + supB \end{eqnarray*}$

Hier habe ich einige Beweise über Epsilon gesehen, in denen erst bewiesen wird, dass supA+supB eine obere Schranke(noch einfach) und dann dass es die kleinste obere Schranke ist. Aber ich wollte es dann anders probieren, bin mir meiner aber nicht sicher und frage deshalb, nach logischen Fehlern oder Unvollständigkeiten.

Zitat:

Meine Idee:
über den Dedenkindschen Schnitt

So, hier schaue ich mir die beiden Mengen A und B erstmal seperat an. Es gibt in beiden nach dem Dedekindschem Schnitt eine Trennzahl $\begin{eqnarray*} t_{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_{B} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt $\begin{eqnarray*} a\leq t_{A} \leq na \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} na\in \mathbb R /A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\leq t_{B} \leq nb \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} bn\in \mathbb R /B \end{eqnarray*}$
Und da A und B nach oben beschränkt sind, ist auch klar, dass mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R /A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R /B \end{eqnarray*}$ die Mengen oberhalb von A und B gemeint sind.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t_{a}\geq a, t_{b}\geq b \Rightarrow t_{a}=supA, t_{b}=supB \end{eqnarray*}$

das folgt logisch aus den vorherigen Überlegungen über den Dedekindschen Schnitt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t_{a}+t_{b}\geq a+b \Rightarrow t_{a}+t_{b}=supA+B \end{eqnarray*}$

Hier wird es nun kritisch, denn für mich ist logisch, dass, wenn vorher $\begin{eqnarray*} t_{a}\geq a \end{eqnarray*}$ Betonung auf kleiner gleich, dann alle Elemente aus A+B auch kleiner gleich $\begin{eqnarray*} t_{a}+t_{b} \end{eqnarray*}$ sind.
Und das Supremum impliziert, dass wenn alle Elemente einer Menge kleiner gleich einem Element sind, dass dieses Element die kleinste obere Schranke ist.(Maximum immer Supremum)

Oder nicht?

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