Geschlossene Form einer rekursiven Folge

23.11.2010, 20:32	lurcker	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossene Form einer rekursiven Folge Ich habe die rekursive Folge: $\begin{eqnarray} z_{n+1}= \frac{n^{2}\cdot z_{n}^2+c }{n+1} \end{eqnarray}$ gegeben. Jetzt soll ich für $\begin{eqnarray} c= -2 \end{eqnarray}$ eine "geschlossene Form" von $\begin{eqnarray} z_{n} \end{eqnarray}$ abgeben, wobei $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ . Daneben soll ich noch Konvergenz der Folge zeigen. Was bedeutet "geschlossene Form" ? Ich vermute die explizite Darstellung Soll ich für n=2 wählen ? Danke
23.11.2010, 20:39	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen Informationen zum Startwert.
23.11.2010, 20:40	lurcker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja: Startwert: $\begin{eqnarray} z_{0} = 0, n\in \mathbb N \end{eqnarray}$
23.11.2010, 21:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann berechne doch mal die ersten Glieder. Spätestens bei n=5 sollte dir was auffallen.
23.11.2010, 22:11	lurcker	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage: Warum sollte n auch größer werden ? Es heißt doch nur $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ Ich habe es mal allgemein für n rechnen lassen: z(0): 0 z(1): [attach]16813[/attach] z(2): [attach]16814[/attach] z(3): [attach]16815[/attach] Kannst du bitte nochmal erklären, was du meinst, ich glaube ich stehe auf dem Schlauch.
23.11.2010, 22:22	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch genaueres Hingucken hätte Dir auffallen können, dass $\begin{eqnarray} n^2z_n^2=4\text{ für } n\geq 1 \end{eqnarray}$ was sich mit einer fast trivialen Induktion beweisen lässt. Damit ist dann schon alles klar.
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23.11.2010, 22:23	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hilft auch enorm, wenn man $\begin{eqnarray} a_n := nz_n \end{eqnarray}$ substituiert. Dann lautet die Rekursion nämlich einfach $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_n^2+c = a_n^2-2 \end{eqnarray}$ mit Start $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ . EDIT: Ok, einen Moment zu spät.
23.11.2010, 22:28	lurcker	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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