Lösen von Exponentialgleichungen

23.11.2010, 20:40

infiniteperiod

Lösen von Exponentialgleichungen

Hallo, miteinander,

ich versuche, Exponentialgleichungen mit ln zu lösen und dadurch x zu bestimmen. Eine Beispielaufgabe wäre folgende:

$\begin{eqnarray*} 5 \cdot 8^{x+1}=16^{x-1} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich nach x auflösen. Zuerst logarithmieren:

$\begin{eqnarray*} ln(5 \cdot 8^{x+1})=ln(16^{x-1}) \end{eqnarray*}$

Dann nach und nach über Logarithmengesetze:

$\begin{eqnarray*} ln(5)+(x+1) \cdot ln(8)=(x-1) \cdot ln(16) \end{eqnarray*}$

Die ln(5) im linken Term rüberbringen:

$\begin{eqnarray*} (x+1) \cdot ln(8)=(x-1) \cdot ln(16)-ln(5) \end{eqnarray*}$

Die (x+1) im linken Term und die (x-1) im rechten Term jeweils ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x \cdot ln(8)+ln(8)=x \cdot ln(16)-ln(16)-ln(5) \end{eqnarray*}$

Die ln(8) im linken Term rüberbringen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot ln(8)=x \cdot ln(16)-ln(16)-ln(5)-ln(8) \end{eqnarray*}$

Mit ln(8) dividieren:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{x \cdot ln(16)-ln(16)-ln(5)-ln(8)}{ln(8)} \end{eqnarray*}$

Die x*ln(16) im rechten Term rüberbringen:

$\begin{eqnarray*} x-x \cdot ln(16)=\frac{-ln(16)-ln(5)-ln(8)}{ln(8)} \end{eqnarray*}$

Eine Klammer im linken Term bilden:

$\begin{eqnarray*} x \cdot [1-ln(16)]=\frac{-ln(16)-ln(5)-ln(8)}{ln(8)} \end{eqnarray*}$

Schließlich mit der neuen Klammer dividieren:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-ln(16)-ln(5)-ln(8)}{ln(8) \cdot [1-ln(16)]} \end{eqnarray*}$

Mein Taschenrechner sagt mir jetzt, x sei 1,753 (kann bei der letzten Nachkommastelle falsch sein, weil mein Taschenrechner alt ist und anfängt, zu spacken). Setze ich den x-Wert zur Überprüfung in die Terme ganz oben ein, kommen zu unterschiedliche Ergebnisse raus.

Was habe ich falsch gemacht? Ich suche schon seit gestern nach dem Fehler und bitte daher um Hilfe.

Herzliche Grüße!

23.11.2010, 20:45

baphomet

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RE: Lösen von Exponentialgleichungen

Zitat:

Die x*ln(16) im rechten Term rüberbringen:[/latex]

Ich würde erstmal den ln(8) und ln(16) berechnen, dann bringst du xleichter auf eine
Seite, bei der Umformung hast du gepatzt.

$\begin{eqnarray*} x \cdot \ln(8)=x \cdot \ln(2*8)-\ln(16)-\ln(5)-\ln(8)<br /> \ln(8)x-\ln(2\cdot8)x=-\ln(16)-\ln(5)-\ln(8)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

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