Spur und Dualraum

23.11.2010, 20:54

dupla

Spur und Dualraum

hallo,

ich habe probleme mit diesen aufgaben:

Zitat:

Es sei K ein körper, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V=K^{n \times n} \end{eqnarray*}$

1) Für $\begin{eqnarray*} A \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_A \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \lambda_A:=Spur(AX) \end{eqnarray*}$ . Zeige: $\begin{eqnarray*} \{\lambda_A|A \in V\}=V^* \end{eqnarray*}$
2)Zeige: $\begin{eqnarray*} <XY-YX|X,Y\in V>=\{Z\in V|Spur(Z)=0\} \end{eqnarray*}$

bei der 1) muss ich ja 2 inklusionen zeigen:

bei der" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " muss ich doch im prinzip zeigen, dass die spur abbildung linear ist, und einer matrix ein element aus K zuordnet, oder verstehe ich hier die aufgabenstellung falsch?

bei der anderen richtung weiß ich gerade nicht weiter.
ich muss dann ja zeigen, dass eine linearform, also eine lineare abbildung $\begin{eqnarray*} V->K \end{eqnarray*}$ automatisch in der menge liegt, aber das muss ja nicht unbedingt sein.
die determinante ist doch auch eine lineare abbildung, die einer quadratischen matrix ein skalar aus dem körper zuordnet, aber die determinanten abbildung liegt doch nicht in der menge.

ist bei der 2) aufgabe der span von $\begin{eqnarray*} XY-YX \end{eqnarray*}$ gemeint, oder hat diese schreibweise hier eine andere bedeutung?

danke schonmal im voraus.

24.11.2010, 17:06

dupla

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