Char.Funktion Gleichverteilung

23.11.2010, 20:59

Rüdiger19

Char.Funktion Gleichverteilung

Guten Abend zusammen,

ich soll die charakteristische Funktion der Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ berechnen.

Mein Skript sagt also $\begin{eqnarray*} \Phi_X(t)= \int\limits_{-1}^{1} e^{itX}\,dP \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nicht, wie ich das Integral auswerten kann.

Wäre nett, wenn mir jemand dabei hilft.

23.11.2010, 21:05

René Gruber

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Zitat:

Original von Rüdiger19
Mein Skript sagt also $\begin{eqnarray*} \Phi_X(t)= \int\limits_{-1}^{1} e^{itX}\,dP \end{eqnarray*}$ .

Jein, du vermischst hier verschiedene Integralbegriffe. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \Phi_X(t) = \int\limits_{\Omega} e^{itX} ~ \dd P = \int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx} ~ \dd P_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}} e^{itx} ~ f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_{-1}^1 e^{itx}\cdot \frac{1}{2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

23.11.2010, 21:24

Rüdiger19

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Ich hätte jetzt gedacht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ wäre das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Das ist also nicht so?

Nachdem was du jetzt geschrieben hast ist es kein Problem mehr es auszurechnen , auch für mich Augenzwinkern

, aber mir sind die Zusammenhänge nicht klar.

Gibts da eine anschauliche Erklärung wieso man $\begin{eqnarray*} dP_X \end{eqnarray*}$ durch die Dichtefunktion ersetzt und dann über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrieren darf?

In der Theorie steckt da ja wahrscheinlich der Transformationssatz hinter , oder?

23.11.2010, 21:30

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer abstrakten Sigma-Algebra. Die kennt man manchmal, oft auch nicht, ist eigentlich auch egal.

$\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ist das Verteilungsmaß auf der Borel-Sigma-Algebra des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ , definiert über $\begin{eqnarray*} P_X(A) = P(X\in A) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt über die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P_X((-\infty,x]) = P(X\leq x) = F_X(x) \end{eqnarray*}$ .

Und bei stetigen Zufallsgrößen ist $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ schließlich auch als Integral über die Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ beschreibbar.

Das also im Zeitraffer der Ritt durch diese verschiedenen Bezeichnungen und Begriffe. Ich muss leider sehr häufig beobachten, dass diesen Zusammenhängen wohl im Studium recht wenig Zeit gewidmet wird, schade: Ein festes Fundament hilft schon sehr.

23.11.2010, 22:14

Rüdiger19

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Damit hast du meine Frage auch schon umfassend beantwortet. Ich versuch aber gerade nochmal die Chance zu nutzen, noch eine Frage zu stellen, wo ich mich aber schwer tue überhaupt die Frage zu formulieren.

Ich hab Probleme mit dem $\begin{eqnarray*} dP_X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} dF_X \end{eqnarray*}$ oder allgemein $\begin{eqnarray*} d\mu \end{eqnarray*}$ . Ich weiß , dass \mu ein Maß ist, dass einer Menge eine pos. reelle Zahl zuweist ,und bei P z.B. zwischen [0,1] .

Bei der Riemann Integration komm ich mit dem Differentialbegriff auch zurecht, wo es ja besonders im mehrdimensionalen wichtig ist. Ist aber auch schon wieder etwas her , dass ich mich damit genauer auseinander gesetzt hab und ich find es sehr schwer das alles im Kopf zu behalten, wenn man es nicht täglich braucht.

Muss man denn immer alle Integrale auf das Lebesgue Maß , bzw Riemann Integral zurückführen um es zu berechnen? Das wurde doch hier auch gemacht.

23.11.2010, 22:18

René Gruber

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"Muss" ist so eine Sache: Die Lebesgueintegrale helfen, viele Dinge umfassend in einer einzigen Gleichung für alle möglichen Zufallsgrößen darzustellen, egal ob es um diskrete Zufallsgrößen (dann im Endeffekt Summen bzw. Reihen) oder stetige Zufallsgrößen (dann Riemannintegrale, normale oder uneigentliche) geht, oder gar Mischungen davon.

23.11.2010, 22:41

Rüdiger19

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Ok, dein Einwand für "Muss" leutet ein, bei dem was du dahinter noch geschrieben hast.

Wenn ich das jetzt mal einschränke auf stetige Funktionen, führt man dann ein Lebesintegral auf ein Rieman-Integral zurück? Dann sind doch Lebesgue Integral und Riemann Integral gleich, abgesehen von einer anderen theoretischen Fundament.

Also ich wüsste überhaupt nicht, wie ich ein Lebesgueintegral zu einem anderen Maß also dem Lebesgue- Maß integrieren würde.

23.11.2010, 22:46

René Gruber

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Zitat:

Original von Rüdiger19
Wenn ich das jetzt mal einschränke auf stetige Funktionen, führt man dann ein Lebesintegral auf ein Rieman-Integral zurück? Dann sind doch Lebesgue Integral und Riemann Integral gleich, abgesehen von einer anderen theoretischen Fundament.

Korrekt formuliert meinst du folgendes: Lebesgueintegrale, wo über Maße integriert wird, die absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Borel-Maßes sind - ja, die kann man als Riemannintegrale schreiben, was dann auch der übliche Zugang zu deren Berechnung ist.

23.11.2010, 23:09

Rüdiger19

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So weit so gut. Meine Verständnisprobleme liegen wohl auch viel daran, dass ich seit Ana 3 damit nichts mehr an der Mütze hatte , was etwas über ein Jahr jetzt her ist.
Was mir auffällt, ist das alle Komilitonen mit denen ich versucht habe darüber zu schnacken, da auch ihre Probleme haben. Da führt wohl kein Weg dran vorbei zu versuchen, das alles mal richtig zu verstehen Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe, es war ja schonmal ein Anfang zum großen Ganzen smile

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