Majorantenkriterium

23.11.2010, 22:03

-_-

Majorantenkriterium

Meine Frage:
Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{q} } \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn q > 1

Meine Ideen:
würde das jetzt mit dem Majorantenkriterium lösen (geht doch oder)?
Das heißt ja, dass ich $\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{q} } | \end{eqnarray*}$ nach oben durch eine andere Folge ( $\begin{eqnarray*} b_{k} \end{eqnarray*}$ ) abschätze richtig? Und konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ so konvergiert die ursprüngliche Folge absolut, richtig?
Das Problem ist für mich die Abschätzung zu finden, sodass ich auf eine Lösung komme. Wie gehe ich da am besten vor?

23.11.2010, 22:06

Iorek

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Das Majorantenkriterium ist hier eher schwer zu benutzen, versuch dich lieber am Integralkriterium oder am Cauchyschen Verdichtungskriterium.

24.11.2010, 14:24

-_-

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Du hast Recht mit dem Verdichtungskriterium ist das einfacher und ich sehe gerade, dass das vorher auch bewiesen werden soll.
Nun jetzt sitze ich an dem Beweis...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2^{k}a_{2^{k}} \end{eqnarray*}$ konvergiert und es soll auch noch die Beschränktheit der Partialsummen ins Spiel gebracht werden.
Erster Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} = a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7}) + ... \end{eqnarray*}$
und ich weiß, dadurch das $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, dass jeweils das erste Glied einer Klammer das Maximum der Klammer ist und das jeweils letzte Glied der Klammer das Minimum. Dadurch sind doch meine Klammern (also Partialsummen) jeweils beschränkt!? Und wie verfahre ich weiter wenn ich das weiß?

24.11.2010, 14:34

Iorek

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Welche Richtung willst du denn zeigen, das sollten wir noch davor klären Augenzwinkern

Aus deinem Ansatz nehme ich mal an $\begin{eqnarray*} \sum 2^ka_{2^k}~\text{konvergiert}\Rightarrow \sum a_k~\text{konvergiert} \end{eqnarray*}$ .

Wieso hast du die Klammern so gesetzt? Da muss ja irgendein Hintergedanke bei sein. Schätze jetzt jeden Klammerterm nach oben ab, dann hast du die Aussage schon fast bewiesen.

24.11.2010, 14:36

klarsoweit

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Der Ansatz ist prinzipiell richtig. Formal würde ich sowas beweisen:

Es ist $\begin{eqnarray*} s_n := \sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}} a_k \leq S_n := \sum\limits_{k=0}^n 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$

Das geht relativ leicht mit vollständiger Induktion.

24.11.2010, 14:38

Iorek

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@klarsoweit, Induktion ist hier unnötig, die Aussage zeigt man leicht mit dem Majorantenkriterium. Augenzwinkern

24.11.2010, 14:47

klarsoweit

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Nun ja, also so sehe ich das nicht.
Das Majorantenkriterium sagt nur was über die Konvergenz einer Reihe, wenn ich diese nach oben durch eine konvergente Majorante abschätzen kann.

Über die Gültigkeit der durchgeführten Abschätzung sagt mir das Majorantenkriterium gar nichts. Dafür muß man selber sorgen. Und das mache ich in diesem Fall mit einer vollständigen Induktion.

24.11.2010, 14:52

Iorek

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Die Induktion ist aber auch in meinen Augen unnötig, mit der von -_- angefangenen Einteilung kann man direkt nach oben abschätzen und erhält damit $\begin{eqnarray*} a_1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$ , was nach Voraussetzung konvergiert.

24.11.2010, 14:55

-_-

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gerade mit Abschätzen tue ich mich schwer. Naja die Klammern habe ich so gesetzt nachdem ich gesehen habe, dass nachher $\begin{eqnarray*} 2^{k} \end{eqnarray*}$ Glieder rauskommen sollen in der Summe und mit 2^0 erhalten ich ein Glied, mit 2^1 zwei Glieder usw.
D.h. im Prinzip fehlt mir noch das $\begin{eqnarray*} a_{2^{k}} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Iorek
Die Induktion ist aber auch in meinen Augen unnötig, mit der von -_- angefangenen Einteilung kann man direkt nach oben abschätzen und erhält damit $\begin{eqnarray*} a_1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$ , was nach Voraussetzung konvergiert.

Ja, wenn man Pünktchenbeweise akzeptiert. Ich tue das nicht.

24.11.2010, 14:59

Iorek

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Zitat:

Original von -_-
und ich weiß, dadurch das $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, dass jeweils das erste Glied einer Klammer das Maximum der Klammer ist und das jeweils letzte Glied der Klammer das Minimum.

Hier hast du die Abschätzung schon direkt angegeben.

24.11.2010, 15:08

-_-

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Also ist das jeweilige maximale Glied jeder Klammer die Abschätzung nach oben!?
Erhalte dann also $\begin{eqnarray*} \left(a_{1}\right) + (a_{2} + a_{2}) + (a_{4} + a_{4} + a_{4} + a_{4}) + ... \end{eqnarray*}$ oder?
Und das entspricht dann meiner Majorante?

Achja zur VI: Die Frage ist jetzt, was mein Tutor akzeptiert... nachdem ich das so bewiesen habe, werde ich mich mal an die VI setzten und gucken, ob ich das darüber auch hinbekommen würde.

24.11.2010, 15:10

Iorek

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Ich persönlich sehe in diesem Fall nicht das Problem mit der Argumentation, da man das auf endliche Summen und strikt positive Folgenglieder zurückführen kann, wenn du auf Nummer sicher gehen willst, kannst du aber natürlich auch die Induktion machen. smile

24.11.2010, 15:14

-_-

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Naja ich werde jetzt erstmal den Beweis per Majorante nochmal sauber zu Papier bringen und dann mal gucken, was die VI so sagt Augenzwinkern

aber soweit erstmal Danke smile

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