3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren

24.11.2010, 01:49

MaxHahn

3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren

Ich habe eine quadratische Matrix, die invertiert werden soll.
Mein Problem ist, dass ich nur ein Beispiel vorliegen habe, das ich verstehe.
Das ist allerdings so einfach, dass es fuer mich nicht uebertragbar ist. Ich sitze an der Aufgabe schon seit Stunden und multipliziere und addiere die Zeilen und komme einfach nicht weiter.
Die Determinante ist ungleich Null und mit dem Taschenrechner bekomme ich auch ein Ergebnis.
Vielleicht ist jemand so nett und geht die Rechnung mit mir durch?

Das ist die zu invertierende Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun wende ich die Sarrus'sche Regel an, um die Determinante zu bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 2\\ 2 & 3 & 4 & | & 2 & 3\\ 3 & 4 & 1 & | & 3 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Als Determinante bekomme ich folgendes heraus:
$\begin{eqnarray*} det A= 1*3*1+2*4*3+3*2*4-3*3*3-4*4*1-1*2*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} det A = 3 + 24 + 24 - 27 - 16 - 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} det A = 4 \end{eqnarray*}$
Da die Determinante ungleich Null ist, existiert die Inverse.
Nun stelle ich hinter die zu invertierende Matrix die Einheitsmatrix, um durch elementare Zeilenumformung vorne die Einheitsmatrix und hinten die inverse Matrix zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 08:53

lgrizu

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RE: 3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren
das ist soweit alles richtig. nun musst du die folgende matrix umformen, bis links die einheitsmatrix steht:

Zitat:

Original von MaxHahn

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die matrix, die dann rechts entsteht ist die gesuchte inverse.

24.11.2010, 12:38

MaxHahn

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RE: 3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren
Das weiss ich auch. Hab gestern Stunden lang gerechnet aber keine Loesung gefunden. Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, wie man die einzelnen Zeilen und Spalten "nullt"?

24.11.2010, 14:13

MaxHahn

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RE: 3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren
Hat sich erledigt. Habe die Definition der elementaren Spaltenumformung nicht richtig in Erinnerung gehabt. Jetzt hat es geklappt.

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3x3-Matrix durch element. Zeilenenoperationen invertieren

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