Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich |
| 24.11.2010, 09:41 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich ich sitze schon länger an nachstehendem Beispiel und komme leider nicht auf das richtige Ergebnis. Angabe: Berechne Partialbruchzerlergung von mittels Koeffizientenvergleich. Ergebnis soll sein: 1/(x-2) + 3/(x-2)^2 + 2/(x+1) - 1/(x-1) Da der Zählergrad höher ist als der Nennergrad muss als erstes ja dividiert werden. Hierzu muss ich eine Nullstelle erraten, was mir nicht zu gelingen scheint. Wolfram Alpha spuckt 1,21986 raus, wenn ich die Gleichung nullsetze. Das kann aber nicht stimmen? Wenn mir jemand sagen könnt, was der erste Schritt bei diesem Beispiel ist, wäre ich dankbar! Grüße, Metriod |
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| 24.11.2010, 09:59 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich wieso musst du eine nullstelle des zählers kennen, um die polynomdivision durchzuführen? ..und hier ist zählergrad=nennergrad, nicht zählergrad größer als nennergrad, zähler und nenner haben beide den grad 3. nun ist . dividiere nun zuerst einmal: |
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| 24.11.2010, 10:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich Erstmal die Frage: heißt es (x - 2²) also (x - 4), oder (x - 2)² ?
So, wie es jetzt gepostet ist, ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad.
Das ist nicht erforderlich. Man macht eine Polynomdivision mit Rest. |
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| 24.11.2010, 10:04 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich @klarsoweit: muss eh gleich zur uni, machst du dann weiter? EDIT von klarsoweit: OK, ich hatte nicht gesehen, daß du schon gepostet hattest. |
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| 24.11.2010, 10:17 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, hab einen Fehler bei der Angabe, richtigerweise sollte diese lauten: |
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| 24.11.2010, 10:19 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Partialbruchzerlegung mittels Koeffizientenvergleich
Ah... da hätte ich auch selbst drauf kommen können, dass man zuerst den Nenner ausrechnet und dann den Grad betrachtet ... Danke. |
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| 24.11.2010, 10:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hatte ich mir fast gedacht. Und schwuppdiwupp ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad. 
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| 24.11.2010, 11:00 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, der Nenner hat einen höheren Grad als der Zähler (siehe Korrektur der Angabe). Wie muss ich nun vorgehen, wenn ich die Lösung mittels Koeffizientenvergleich finden soll? Ich habe nun: (a/(x-2)) + (6/((x-2)^2) + ((cx+d)/((x^2)-1)) Koeffizientenvergleich: x^3=+1a + 0b + 1c + 0d = +2 x^2=- 2a + 1b - 4c + 1d = - 6 x^1=- 1a + 0b + 4c - 4d = +15 x^0=+2a - 1b + 0c + 4d = - 13 Was ist nun die effektivste Methode hier die Variablen herauszufinden? Gibt es da wirklich nur die Möglichkeit Eliminationsverfahren / Substitutionsverfahren oder Gleichsetzverfahren anzuwenden? Welche Methode wäre empfehlenswert? |
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| 24.11.2010, 11:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ansatz ist falsch, weil es zum einen statt 6 b heißen sollte, und zum anderen, weil x² - 1 noch in Linearfaktoren zerlegt werden kann. |
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| 24.11.2010, 11:28 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Schon wieder ein Tippfehler, sorry. |
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| 24.11.2010, 11:53 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, neuer Versuch: Ich habe nun: (a/(x-2)) + (b/((x-2)^2) + (c/(x+1)) + (d/(x-1)) Koeffizientenvergleich: x^3=+1a + 0b + 1c + 1d = +2 x^2=- 2a + 1b - 5c - 3d = - 6 x^1=- 1a + 1b - 5c - 3d = +15 x^0=+2a - 1b - 4c + 4d = - 13 Welche Methode wäre nun die effektivste um die Variablen herauszufinden? Danke im Voraus! |
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| 24.11.2010, 12:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier habe ich was anderes raus. Die beste Methode für das Lösen linearer Gleichungssysteme ist in meinen Augen das Gauß-Verfahren. |
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| 24.11.2010, 12:22 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x^1 = -a + 8c? Bah... so kleine Fehler kosten so viel Zeit 
Das Gausch-Verfahren kenn ich noch garnicht, mal schauen auf wikipedia. |
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| 24.11.2010, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Wobei das von der formalen Schreibweise her unsauber ist. Ich würde x^1: -a + 8c = 15 bevorzugen. |
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| 24.11.2010, 12:58 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könnte mir jemand das Gaussche Verfahren bei diesem Beispiel zeigen? Ich habs probiert, es kommen aber Kommazahlen raus, ohne Taschenrechner wird das recht kompliziert ... Oder sollen da garkeine Kommazahlen entsehen und ich hab einen Fehler gemacht? |
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| 24.11.2010, 13:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Keine Ahnung, dazu müßte man deine Rechnung kennen. Zum Verfahren: addiere geeignete Vielfache der ersten Gleichung zu den anderen Gleichungen, so daß in diesen die Variable a verschwindet. |
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| 24.11.2010, 13:25 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Ansatz zum Gausschen Verfahren lautet: Koeffizientenvergleich: x^3=+1a + 0b + 1c + 1d = + 2 x^2=- 2a + 1b - 5c - 3d = - 6 x^1=- 1a + 0b - 8c - 0d = +15 x^0=+2a - 1b - 4c + 4d = - 13 Daraus folgt: +1 + 0 + 1 + 1 l + 2 - 2 + 1 - 5 - 3 l - 6 /+(2*erste Zeile) - 1 + 0 + 8 + 0 l +15 /+(erste Zeile) +2 - 1 - 4 + 4 l - 13 /-(2*erste Zeile) ============== +1 + 0 + 1 + 1 l + 2 +0 + 1 - 3 - 1 l - 2 +0 + 0 + 9 + 1 l +17 +0 - 1 - 6 + 2 l - 17 /+(zweite Zeile) ============== +1 + 0 + 1 + 1 l + 2 +0 + 1 - 3 - 1 l - 2 +0 + 0 + 9 + 1 l +17 /:9 +0 + 0 - 9 + 1 l - 19 ============== +1 + 0 + 1 + 1 l + 2 +0 + 1 - 3 - 1 l - 2 +0 + 0 + 1 + 0,111 l + 1,888 +0 + 0 - 9 + 1 l - 19 ============== Ab hier blicke ich nicht mehr durch |
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| 24.11.2010, 13:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Schritt mit :9 ist überflüssig. Addiere an dieser Stelle einfach die 3. Zeile zur 4. Zeile. Generell ist zu empfehlen, Brüche in Matrizen/Gleichungssystemen zu vermeiden. |
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| 24.11.2010, 13:37 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich die 4. Zeile mit der 3. Zeile addiere, kommt in der dritten Spalte der 4. Zeile 0 raus. In der 3. Spalte der 3. Zeile bleibt aber weiterhin die 9, ist nicht Ziel, diese 9 in eine 1 umzuwandeln? EDITH: AH... ich kann danach ja die Zeilen vertauschen!!! Edith2: Hm... macht auch keinen Sinn, die Zeilen zu vertauschen... |
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| 24.11.2010, 13:44 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Umwandeln in eine 1 kann man machen, muß man aber nicht. Entscheidend ist, daß jeweils unterhalb dem ersten Nicht-Null-Element einer Zeile nur Nullen stehen. |
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| 24.11.2010, 13:56 | metriod | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist natürlich gut zu wissen!
Danke.Somit komm ich auf a=1 b=3 c=2 d=-1 Aller herzlichsten Dank dir "klarsoweit". Warst wirklich eine große Hilfe. Stunden habe ich mich mit Eliminationsverfahren / Substitutionsverfahren/Gleichsetzungsverfahren rumgeschlagen. Gaussches Verfahren rulez!
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