Satz des Pythagoras

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Soraya Auf diesen Beitrag antworten »
Satz des Pythagoras
Hallo,



ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen. Ich kann die folgende Aufgabe nicht lösen:



Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Auf jedem Turm sitzt jeweils ein Vogel. Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt?



Was ich noch schaffe, ist den „Platz“ des Brunnens zu bestimmen, indem ich auf der Strecke zwischen den beiden Turmspitzen die Seitenhalbierende konstruiere, die in ihrer Verlängerung auf das „Feld“ stößt = Brunnen. Aber wie kann ich nun die Abstände des Brunnens von den Türmen bestimmen?!



Es wäre echt super, wenn jemand mir helfen könnte, ich bin schon kurz vorm Verzweifeln…



Mary
m00x Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Ich habs dir mal aufgezeichnet.
Du suchst den Punkt für den Brunnen, an dem die Quadrate Strecken Brunnen-B und Brunnen-D gleich lang sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn nach dem Satz des Pythagoras das Quadrat von 60 + das Quadrat von X so groß ist wie das Quadrat von 80 + das Quadrat von 100-X ( X ist die Strecke vom linken Turm bis zum Brunnen ). Das kannst ud jetzt in eine Gleichung umformen und auflösen.
Klarro?

Hier das Bild:
http://www.hanno-becker.de/Screens/Turm_Voegel.jpg

Gruß
Hanno
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz des Pythagoras
Das mit deiner Seitenhalbierenden verstehe ich entweder falsch,
oder es kommt nicht hin.

Mach dir eine Skizze, trag die bekannten Werte an den betreffenden
Stellen ein und versuche die unbekannte Strecke von
Turm1 zum Brunnen und die vom Turm2 zum Brunnen zu berechnen.


Nach Vorgabe müssen die beide gleich groß sein.


Das zusammen liefert dir alles Nötige um das zu lösen


smile
Soraya Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Zeichnung ist richtig klasse, die hatte ich so weit auch schon. Ich habe jetzt nach Deiner Anleitung alles ausprobiert, aber leider komme ich damit nicht zurecht. Muss ich das mit Deinen Quadraten nach dem Höhensatz lösen oder wie?!
Stimmt denn meine Idee, wie ich den Brunnen bestimme, indem ich die Strecke zwischen den Turmspitzen halbiere usw. oder ist der Ansatz auch schon falsch?

Mary
m00x Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe sie auch nicht recht. Wie ich sagte, stelle dochmal die Gleichung auf, die ich dir beschrieben habe! Dann schauen wir weiter.

Gruß
Hanno
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soraya
...
Stimmt denn meine Idee, wie ich den Brunnen bestimme, indem ich die Strecke zwischen den Turmspitzen halbiere usw. oder ist der Ansatz auch schon falsch?

Mary


... das ist falsch.

Denk doch mal nach, wenn das richtig wäre müßten die Vögel doch
ERZWUNGENERMASSEN verschieden weit haben
und du hättest auch nichts mehr zu bestimmen, da die
Entfernung des Brunnens zu den Türmen zu 1/2 * 100 = 50
feststehen würde ....

.
Fabian Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich habe erstmal 3 gleichungen mit 3 unbekannten gebildet... ka ob das stimmt...







so habe den rest wieder rausgemacht ... sollst ja auch was bei lernen...
setze jez die x² gleich und ersetze entweder a oder b anhand von


Zur selbstkorrektur... als ergebniss musste 87,73 erhalten (aber der weg is das ziel smile )
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schon nicht mehr ganz früh am abend und ich werde langsam müde...

Aber ist es nicht egal ob der eine Turm 60 und der andere 80 Meter hoch ist
oder ob der eine 50 und der andere 70 Meter hoch ist
oder ob der eine 50 und der andere 60 Meter hoch ist

oder ob der eine 0 und der andere 20 Meter hoch ist?

Aber möglicherweise ist das Unsinn verwirrt
Fabian Auf diesen Beitrag antworten »

würde ich nicht sagen
bei 60 zu 80 ist das verhältniss 3:4
bei 40 zu 60 ist es aber 2:3

und das gibt ja bekanntlich was unterschiedliches... aber bevor wir vom eigentlichen thema abkommen... das braucht man garnicht wissen für die aufgabe Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sorayas Idee mit der "Seitenhalbierenden" war doch gar nicht so schlecht. Nur ist es nicht die Seitenhalbierende, sondern die Mittelsenkrechte.

1. Zeichne also durch den Mittelpunkt M der Strecke BD in m00x's Zeichnung die Senkrechte auf die Strecke BD. Sie trifft die Strecke AC am Ort E des Brunnens.

2. Fälle ferner vom Punkt M aus das Lot auf die Strecke AC. Der Lotfußpunkt sei F (=Mitte von AC)

3. Und jetzt noch die Waagerechte durch den Punkt B. Sie trifft CD in G.

Und jetzt sind die Dreiecke EFM und BGD ähnlich.
(Die Strecke FM hat übrigens die Länge 70. Warum?)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Daas war also deine Seitenhalbierende, sorry das hab völlig
falsch verstanden, ich dachte hier sei "Satz des Pythagoras"
angesagt gewesen ....

auf die Idee mit der Verbindungslinie der Turmspitzen zu
'experimentieren' bin ich so erst garnicht gekommen in dem
'Pythagoras-Zusammenhang'.

Da hab ich sogar freundlicherweise die Spitze bei Turm'spitzen'
schon mal überlesen und im Geiste schon durch Turmfußpunkte
ersetzt . Augenzwinkern


verwirrt


Zitat:
oder ob der eine 0 und der andere 20 Meter hoch ist?
Aber möglicherweise ist das Unsinn


... ja das ist Unsinn . Augenzwinkern
Soraya Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Euch allen! Ich werde mich gleich hinsetzen und versuchen, ob´s klappt...
Fabian Auf diesen Beitrag antworten »

rechnerisch mit pythagoras kann ich dur nur meine ansätze empfehlen habe es nachgerechnet stimmt alles =)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Gehst du mehr auf die geometrischen Zusammenhänge ein,
hast du leichter zu rechnen.


Ähnliche Dreiecke ....., das eine mit 100 das andere mit 70
bedeutet eine 30% Dämpfung.

Das heißt Strecke Mittelpunkt bis Brunnen = (80-60) - 30% = 14

Also Turm1 bis Brunnen = 50 + 14 = 64
Turm2 bis Brunnen = 100 - 64 = 36


smile
Soraya Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

jetzt habe ich ein paar mal Deine Konstruktion ausprobiert. Ich glaube, Du hast Dich nur in den Bezeichnungen vertan.
Wenn ich die Senkrechte durch M auf BD zeichne, kann das aber nicht der Punkt sein, der den Brunnen darstellt, denn dann wären die Entfernungen zu den Turmspitzen unterschiedlich groß.
Also kann es nur das Lot sein, das ich fällen muss, um an den Brunnen zu kommen. (nur noch mal zur Sicherheit: Lot fällen heißt doch, dass ich im rechten Winkel bei M eine Gerade auf AC zeichne, oder? )
Dass nun die Dreiecke EFM und BGD ähnlich sind, hilft mir ehrlich gesagt immer noch nicht weiter...Tut mir leid.
Wie komme ich jetzt nun an die Entfernungen vom Brunnen zu den Türmen?!

Wäre wirklich sehr nett, wenn du noch ein wenig Geduld mit mir hättest...

--------------------------------------------------EDIT------------------------------------------------------------


Hallo Poff,

ich danke Dir für Deine Antwort, doch leider hast Du mich mit Deinen 30% usw. nur noch mehr verwirrt.
Ich stehe eigentlich wieder am Anfang und habe immer noch nicht herausgefunden, wie ich nun auf diese Entfernung des Brunnens zu den Türmen komme wie ich auch schon Leopold geschrieben habe.

Hast Du noch eine andere Erklärung?

\\EDIT by sommer87: Bitte keine Doppelpost. EDIT nutzen Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Soraya

wie du gesehen hast gibt es einige verschiedene Methoden
das zu bestimmen.

Entweder du versteifst dich etwas mehr auf geometrische
Zusammenhänge und bist auch in der Lage die zu verstehen,
dann kommst etwa bei dem von mir zuletzt vorgerechneten an.


Ohne das jetzt vorwurfsvoll zu meinen, gibt das deine ein
verworrenes Bild ab.

Einerseits hast du den Brunnen GEOMETRISCH gesehen richtig
konstruiert und damit das Problem GEOMETRISCH gesehen sogar
schon gelöst, aaber

was noch ansteht ist das Berechnen jener Entfernung, NUR dazu
müsstest du wiederum das Brunnenproblem NICHT geometrisch
lösen, sondern könntest das direkt rechnen OHNE 'Mittelsenkrechte'
und Co und das will ich dann einfach auch gerade mal machen.


Ich bezieh mich auf moox-Zeichnung, der Brunnen sei in
Übereinstimmung mit 'Leopold' E

Nach dem Pythagoras im Dreieck AEB ist
BE² = BA² + AE²

und im Dreieck ECD
DE² = EC² + CD²

nach Aufgabenstellung soll BE = DE sein, also auch BE²=DE²
das ergibt

BA² + AE² = EC² + CD²

außerdem ist AE + EC = 100, also EC =100 - AE
zusammen

BA² + AE² = (100 - AE)² + CD²

hier kannst du nun alle bekannten Werte einsetzen und durch
Umformerei (quadratische Gl) die Strecke AE berechnen.
(ich hoffe du kannst mit quadratischen Gl umgehen ... ;-/)


smile
Fabian Auf diesen Beitrag antworten »

genau so hatte ich es ja auch schon am anfang geschrieben smile is eigentlich total easy man muss wirklich nur da logisch dran gehen und erstmal gleichungen bilden, die sin ergeben... dann kommt man auf 3 leichungen mit 3 unbekannten und das kann man ja bekanntlich ohne probleme lösen!
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung ist doch schon das komplett da:
Zitat:
Original von Fabian
hmm ich habe erstmal 3 gleichungen mit 3 unbekannten gebildet... ka ob das stimmt...






Nun einsetzen:


(denn a+b=100 -> b=100-a)
(vgl. Binomische Formel)

Jetzt mit der zweiten Formel für x^2 gleichsetzen



Klar?

@Fabian

Zitat:
Zur selbstkorrektur... als ergebniss musste 87,73 erhalten

Die Lösung für x = 4 * sqrt(481) braucht man nicht wirklich. - Gelle Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soraya
...
Wenn ich die Senkrechte durch M auf BD zeichne, kann das aber nicht der Punkt sein, der den Brunnen darstellt, denn dann wären die Entfernungen zu den Turmspitzen unterschiedlich groß.
Also kann es nur das Lot sein, das ich fällen muss, um an den Brunnen zu kommen.


ich bin zwar NICHT Leopold, antworte aber dennoch mal

Senkrechte durch M auf BD = 'Lot' zu BD im Punkt M errichten,
das ist RICHTIG und dürfte dem entsprechen was du meinst,

... ABER falsch beschreibst !!


Zitat:
nur noch mal zur Sicherheit: Lot fällen heißt doch, dass ich im rechten Winkel bei M eine Gerade auf AC zeichne, oder? )

nein, das ist zwar richtig gemeint aaber FALSCH formuliert.


Das Lot fällt man VON einem FERNEN Punkt auf eine Gerade,
liegt der Punkt hingegen auf der Geraden, dann spricht man
von Senkrechte zu ... im Punkt ..., oder Senkrechte auf ...
errichten im Punkt ...


Auf die ähnlichen Dreiecke will ich denn mal nicht weiter eingehen,
NUR, wie weiter oben schon bemerkt, ZUM reinen Berechnen
der Strecke hättest du deine ganze LotFällerei & Co NICHT gebraucht.


smile


und Fabian hat das schon zu Anfang richtig angedeutet und
auch richtig berechnet .... nicht dass etwa falsche Vermutungen
aufkommen Augenzwinkern
Soraya Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, danke , danke!!!!
Jetzt habe ich es endlich begriffen und habe auch das Ergebnis raus.

Poff - Du hast es gut erkannt - ich habe so meine Schwierigkeiten mit dem exakt auf den Punkt Formulieren...
Aber ich bin wirklich richtig glücklich, dass es nun auch bei mir gefunkt hat!


Ich wünsche Euch allen einen wunderschönen Samstag abend, auch nach diesem nicht so torreichen Fußballspiel!
girly Auf diesen Beitrag antworten »
satz des pythagoras
Wink leute!!
bin heute echt verzweiflt hab morgn mathe test und versteh den satz des pythagoras nicht !! traurig


würde mich echt gan ganz ganz fest freun wenn mir das mal jemand erklärn könnte

smile
Snowfan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: satz des pythagoras
Hallo girly. Wink

Kannst du bitte mal genauer erklären, was du nicht verstehst? Denn "ich versteh das nicht" hilft nicht beim Erklären weiter. Außerdem scheinst du ja richtig früh mitm lernen anzufangen, wenn ihr morgen schreibt... Augenzwinkern

Lieben Gruß
SF
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