Konvergenz

24.11.2010, 11:53

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz

hallo, ich bin bei einer Aufgabe zum Teil stecken geblieben.

Finde durch Rechnung und Zeichnung alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R / \left\{ 0\right\} mit \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x < \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

mit der Zeichnung ist das ja noch hinzubekommen, aber mit der Rechnung?

24.11.2010, 11:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach eine Fallunterscheidung für x und löse die Ungleichung auf.

Edit: Und was hat das bitte mit Konvergenz zu tun? verwirrt

verwirrt

24.11.2010, 11:59

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

wie macht man eine Fallunterscheidung?

also Konvergenz war als Obrebegriff zur Aufgabe dabei verwirrt

verwirrt

muss man das lösungsintervall von beiden fällen dann zusammen tun?

die fallunterscheidung ebi einem Betrag kenne ich abe nicht wie mit so einer aufgabe unglücklich

unglücklich

24.11.2010, 12:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst mir aber doch zustimmen, dass die Aufgabe wenig mit Konvergenz zu tun hat, oder?

Was ist beim Lösen einer Ungleichung zu beachten (im Gegensatz zum Lösen einer Gleichung)? Dementsprechend musst du zwei Fälle für x unterscheiden.

24.11.2010, 12:06

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt schon, hab mir nichts dabei gedacht, wie kann ich das thema ändern, dann mach ich das..

also nach x auflösen?

24.11.2010, 12:08

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nachdem du die Fallunterscheidung gemacht hast, kannst du nach x auflösen.

Anzeige

24.11.2010, 12:29

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie blick ich da nicht wirklich durch.

wenn ich den 1.Fall : $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

und 2. Fall $\begin{eqnarray*} 0 > \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

kommt bei beiden quatsch raus, aslo 1 < 0 oder 1> 0

ich weiss aber, dass der Lösungsintervall (0,1) ist

24.11.2010, 12:32

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

(0,1) ist aber bei weitem nicht alles unglücklich

unglücklich

Du sollst auch keine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ machen sondern nur für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ !

24.11.2010, 12:42

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss nicht wie man das formal sauber aufschreibt, aber ich hab ein denkfehler gemacht.... also ist der intervall (-1, 1)

für fall 1: (-1,0)
für fall 2: (0,1)

24.11.2010, 12:44

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Intervall (-1,1) ist auch nicht richtig. Für x=-0,5 ist z.B. $\begin{eqnarray*} \frac 1x=\frac 1{-0{,}5}=-2<-0{,}5=x \end{eqnarray*}$

Unterscheide doch einfach die Fälle x>0, x<0 und löse die Ungleichung auf...

24.11.2010, 12:50

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt, ist ja aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

aber wenn ich nach x auflösen möchte kommt doch 0 raus

24.11.2010, 13:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso kommt da 0 raus?

Damit das hier mal was wird, 1. Fall: $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x< \frac 1x \Leftrightarrow x^2< 1 \Leftrightarrow x<1 \end{eqnarray*}$ , damit ist der erste Fall fertig.

Den zweiten musst jetzt schon du liefern.

24.11.2010, 13:34

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

ach man, sorry echt anstrengend mit mir weiss ich unglücklich

unglücklich

ich muss leider los, mache aber heute abend weiter...

vielen dank

25.11.2010, 10:47

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

also heisst das für den 2. Fall: x < 0

dann ist $\begin{eqnarray*} -x < \frac{1}{x} \Leftrightarrow x < -1 \end{eqnarray*}$

ahso das bild hab ich auf schnelle gemacht, also bitte nicht auf super Schönheit achten und 100%ige Richtigkeit Big Laugh

Big Laugh

25.11.2010, 11:01

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bekommst zwar das richtige Ergebnis, allerdings mit einer völlig falschen Begründung. unglücklich

unglücklich

Du solltest dich nochmal mit dem Lösen von Ungleichungen beschäftigen, was für Besonderheiten da auftreten im Gegensatz zum Lösen von Gleichungen (als Stichwort: Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl!).

Wieso setzt du $\begin{eqnarray*} -x<\frac 1x \end{eqnarray*}$ , konsequenterweise müsste es wenn schon $\begin{eqnarray*} -x<\frac 1{-x} \end{eqnarray*}$ sein. Wie kommst du danach eigentlich auf $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ wie rechnest du um dahin zu kommen?

Du sollst auch gar keine Minuszeichen da hinschreiben, du sollst nur annehmen, dass $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist, das reicht schon um weiter zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} x<\frac 1x \end{eqnarray*}$ , löse diese Ungleichung jetzt nach x auf und beachte meinen Tipp zum Lösen von Ungleichungen oben.

25.11.2010, 11:07

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

das x < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ war doch schon im ersten fall.

da kommt x <1 raus. man rechnet | $\begin{eqnarray*} \cdot x \end{eqnarray*}$ und dann die wurzel ziehen , dann bekommt man das raus.

25.11.2010, 11:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Im ersten Fall hatten wir $\begin{eqnarray*} x<\frac 1x \end{eqnarray*}$ unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist berechnet, für den zweiten Fall betrachten wir die selbe Ungleichung unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist.

Falls du unbedingt Minuszeichen dadrin haben willst, kannst du die auch reinbringen, allerdings dann auch konsequent und nicht wie du es gemacht hast mal $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ und dann beim nächsten Mal einfach nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

25.11.2010, 11:25

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

ok bei der annahmen heisst das also, dass jedes x, x<0 ist, heisst also

-x < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x} \end{eqnarray*}$ gut das ist klar.

somit komme ich also auch auf x < 1, mit x< 0

das wiederum heisst, was genau für die lösung

das macht für mich nämlich irgendwie kein sinn

25.11.2010, 11:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Du solltest dich nochmal mit dem Lösen von Ungleichungen beschäftigen, was für Besonderheiten da auftreten im Gegensatz zum Lösen von Gleichungen (als Stichwort: Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl!).

Du solltest meine Tipps auch beachten. unglücklich

unglücklich

26.11.2010, 13:52

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

also man man man, man muss darauf achten, dass wenn die Ungleichung eine negative zahl mit x besitzt, auch am ende das <-zeichen umdreht

also nicht x<1 , sondern x>1

richtig?

26.11.2010, 13:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es.

Wenn also x>1 gelten muss, was sagt dir das dann über -x (womit wir ja gestartet sind)?

26.11.2010, 14:01

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

-x < 1

verwirrt

26.11.2010, 14:05

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also haben wir jetzt als gesamte Lösungsmenge?

26.11.2010, 14:09

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

L= wenn x > 0 , dann gilt ]1, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ [
wenn x < 0 , dann gilt ] $\begin{eqnarray*} -\infty, -1 \end{eqnarray*}$ [

26.11.2010, 14:13

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die 1 ist doch offensichtlich nicht in der Lösungsmenge enthalten, wir haben doch x>1 erhalten.

Jetzt vereinige die beiden Lösungsmengen und fertig.

Eine formale Sache: $\begin{eqnarray*} [a,\infty] \end{eqnarray*}$ ist falsch, wenn du als Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ hast, ist das Intervall an dieser Seite immer offen zu wählen, $\begin{eqnarray*} [a,\infty) \end{eqnarray*}$

Edit: Ok, du hast es schon verbessert, dann vereinige jetzt einfach noch die beiden Lösungsmengen.

26.11.2010, 14:25

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

L= ] $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ [

26.11.2010, 14:28

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein

unglücklich

Du hast $\begin{eqnarray*} L_1=(-\infty,-1),~L_2=(1,\infty) \end{eqnarray*}$ , jetzt bilde die Vereinigungsmenge $\begin{eqnarray*} L=L_1\cup L_2 \end{eqnarray*}$ , du hast doch in deiner Menge jetzt alle reellen Zahlen drin.

26.11.2010, 14:40

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} L= (-\infty , \infty ) \end{eqnarray*}$

ich will euch oder dich nicht ärgern, aber ich weiss auch nicht wie man das ausdrückt, wenn zwischen -1 und 1 halt nicht die Lösungsmenge ist??

26.11.2010, 14:42

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest z.B. die Menge der rellen Zahlen ohne das entsprechende Intervall nehmen...

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus [a,b] \end{eqnarray*}$ ist die Menge der rellen Zahlen ohne das abgeschlossene Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ (analog für offene oder halboffene Intervalle oder auch für endliche Mengen).

26.11.2010, 14:57

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

also quasi : $\begin{eqnarray*} L = (\infty, -\infty ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R / ]1,-1[ \end{eqnarray*}$

??

26.11.2010, 15:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wirfst du wieder mehrere Sachen zusammen...

Was soll " $\begin{eqnarray*} L=(-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus]-1,1[ \end{eqnarray*}$ " bedeuten? Das ergibt (auch mit richtiger Anordnung der Minuszeichen, diese sind bei dir vertauscht) überhaupt keinen Sinn!

Unsere Lösungsmenge ist einfach $\begin{eqnarray*} L=\mathbb R\setminus (-1,1) \end{eqnarray*}$ oder wenn du auf die eckigen Klammern bestehst $\begin{eqnarray*} L=\mathbb R\setminus ]-1,1[ \end{eqnarray*}$ , fertig.

Ich würde dir raten, dass du dir nochmal diese grundlegenden Sachen genau anguckst, (Un-)Gleichungen lösen, Lösungsmengen angeben, die Intervallschreibweise...da scheinen bei dir sehr große Lücken zu sein.

26.11.2010, 15:03

VinSander82

Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

sorry

hab echt nachholbedarf, du hast es oft genug gesagt und ich mach's mir sowas von komplizeirt

26.11.2010, 15:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Solang du die Sachen nachholst, ist das ja kein Problem, abhängig von deinem Studienfach solltest du das allerdings relativ bald erledigen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »