Häufungspunkte einer komplexen Folge

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24.11.2010, 12:24	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte einer komplexen Folge Meine Frage: Ich soll alle Häufungspunkte der koplexen zahlenfolge bestimmen. z(n)=(-0.5+0.5Wurzel(3)i)^n Meine Ideen: Ich habe es mit der Polardarstellung versucht\|-0.5+0.5wurzel(3)+i\|=Wurzel(-0.5^2+0.5^2Wurzel(3)^2*i^1)=1 dann habe ich aber unter der Wurzel eine negative Diskriminante und das ist doch nicht möglich habwe ich einen Fheler gemacht oder ist der Ansatz falsch hat jemand eine Idee wie man es anders lösen könnte???
24.11.2010, 12:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein "beliebter" Fehler! Bei Berechnung des Betrages darf das i NICHT mitquadriert werden, sondern nur der Real- und Imaginärteil! ---------------- Bestimme den Winkel, der durch den Klammerausdruck angegeben wird. Was passiert nun, wenn mit n potenziert wird? Hinweis: Der Winkel ist ein Teiler von $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ mY+
24.11.2010, 13:05	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
habe ich dann einen Winkel von 1/2pi???
24.11.2010, 13:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf? $\begin{eqnarray} \cos \varphi = -\frac 1 2; \ \sin \varphi = \frac {\sqrt 3} 2 \end{eqnarray}$ Das gilt deswegen, weil der Betrag von z hier gleich 1 ist. In welchem Quadranten liegt der Winkel also? Bemerkung: Auch der Tangens muss diesen Winkel liefern. Achtung, damit du damit in den richtigen Quadranten kommst! mY+
24.11.2010, 13:43	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
tan= sin/cos aber ich wüßte jetzt nicht wie ich zeigen kann in welchem Quadranten der winkel liegt auf grund des einen positiven wertes und eines negativen wertes würde ich sagen im dritten quadranten aber wie genau berechen ich das ???
24.11.2010, 14:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Nein im II (!) Hatte mich vorhin auch gerade vertan. In II ist der COS negativ und der SIN positiv! Nun, wie lautet dann dort (im 2. Quadranten!) der $\begin{eqnarray} \arccos (-\frac 1 2) \end{eqnarray}$ ? mY+
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24.11.2010, 14:15	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
3/8
24.11.2010, 14:16	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
bin ich mir jetzt aber total unsicher ich muss mir ja den einheitskries vorstellen beginnen tut es oben bei eins und bis zu 0.5 im 2 quadranten wäre dann 1/8 oder
24.11.2010, 14:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht doch um den Winkel. Die Frage lautet: Bei welchem Winkel in II ist der COS gleich -1/2 (oder gleichbedeutend: Der SIN ist Wurzel(3) / 2; oder gleichbedeutend: Der TAN ist -Wurzel(3) In allen Fällen ergibt sich der gleiche Winkel. Im Einheitskreis gehe beispielsweise um -1/2 waagrecht (nach links) und zeichne dort die Normale, bis sie den Kreis trifft. Dann kannst du den Winkel ablesen. Es ist natürlich ein besonderer. Wenn alle Stricke reissen, dann tipp' das Ganze mal in den TR ein und ermittle den Winkel mittels der INV-Taste (oder COS^(-1) - Taste). mY+
24.11.2010, 14:32	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe einen Winkel von 120 Grad
24.11.2010, 14:33	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
und was bringt mir dieser winkel jetzt für die berechnung der häufungspunkte?
24.11.2010, 14:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, oder auch $\begin{eqnarray} \frac{2 \pi} 3 \end{eqnarray}$ . Nun muss dir klar sein, dass sich bei jeder Erhöhung des Exponenten um 1 der Zeiger um diesen Winkel weiterdreht (--> Moivre). Das geht so lange, bis der Kreis einmal durchlaufen ist. Danach kommen die Zeiger wieder auf den vorigen Stellen zu liegen. Weshalb? Diese werden dann wohl ??? sein? mY+
24.11.2010, 14:38	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
es werden immer wieder die gleichen werte sein, weil es ja periodisch verläuft daraus schließe ich jetzt,dass ich 3 häufungspunkte habe weil er sich drei mal drehen kann bis sie sich wiederholen sprich der zeiger einmal rum ist stimmt das? wie schriebe cihd en das jetzt mathemtatisch hin?
24.11.2010, 14:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Lagen der Zeiger gibt es also drei Möglichkeiten. Innerhalb des Kreises sieht man daher 3 Häufungspunkte; die den 3 Winkeln entsprechenden komplexen Zahlen z1, z2 und z3 sind zu berechnen, wobei z1 schon bekannt ist. Danach kann man erkennen, dass die 3 Häufungspunkte der Lösung der Kreisteilungsgleichung ( $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ wird in 3 Teile zu je $\begin{eqnarray} \frac {2 \pi} 3 \end{eqnarray}$ geteilt ) $\begin{eqnarray} z^3 = 1 \end{eqnarray}$ entsprechen. mY+
25.11.2010, 15:30	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
weshalb ist z(1)schon bekannt z(1)=2pi/3 Nach Polardarstellung ergibt sich: z(n)=(cos(2pi/3)+i sin(2pi/3))^n=cosn(2pi/3)+isinn*(2pi/3)
25.11.2010, 21:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? Was kommt, wenn n = 1 ist? mY+
25.11.2010, 21:58	eurekleene13	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn n=1 bekomme ich cos 2pi/3+isin2pi/3
25.11.2010, 22:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das ist nicht z1? Du brauchst doch das jetzt nur wieder rückwärts rechnen, wozu du am Anfang so lange gebraucht hast (aus den Zahlenwerten den Winkel berechnen und jetzt halt das Ganze umgekehrt). Dann muss doch wieder die ursprünglich gegebene komplexe Zahl herauskommen .... mY+

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