Schnittwinkel Koordinatenachsen und impliziter Funktion

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24.11.2010, 13:10	KingLui987	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel Koordinatenachsen und impliziter Funktion Meine Frage: Unter Welchen Winkeln schneidet die folgende in impliziter Form gegebene Funktion die Koordinatenachsen? $\begin{eqnarray} <br /> 2x^{3} + 6y^{3} - 24y + 6x = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß das ich zunächst due partiellen Ableitungen berechnen muss, aber kann was muss ich dan machen! Schittpunkt mit den Koordinatenachsen bedeutet ja x=0 und y=0? Aber irgendwie steh ich aufm Schlauch! Hoffe jemand kann mir helfen! Danke und Gruß
24.11.2010, 13:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Schnittpunkten sind die Tangenten zu legen. Von diesen benötigst du die Steigung. mY+ [attach]16822[/attach]
24.11.2010, 13:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte folgende Funktion 0=F(x,y), wobei das Argument y wiederum von x abhängt, also y=y(x) $\begin{eqnarray} 0=F[x,y(x)]=2x^3+6y^3-24y+6x \end{eqnarray}$ __________(1) Formales Ableiten nach x ergibt mit Kettenregel $\begin{eqnarray} 0=\frac{dF}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=\underbrace{6x^2+6}_{\frac{\partial F}{\partial x}}\,\,\,\,+\,\,\,\,\underbrace{( 18y^2-24)}_{\frac{\partial F}{\partial y}} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ Umstellen nach dy/dx ergibt $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=-\frac{6x^2+6}{18y^2-24} \end{eqnarray}$ _________(2) Der Schnittpunkt mit der x-Achse lautet (x\|0). Um den zugehörigen x-Wert zu bekommen, setze in (1) y=0 und stelle (1) nach x um. Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet (0\|y). Um den zugehörigen y-Wert zu bekommen, setze in (1) x=0 und stelle (1) nach y um. Die so ermittelten Achsen-Schnittpunkte (x\|0) und (0\|y) setze in die Ableitung (2) ein. Die Ableitung ist bekanntlich der Tangens des Anstiegswinkles der Kurve. Daraus ergeben sich die Schnittwinkel mit den Achsen.
24.11.2010, 14:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Wieder einmal hast du schon beinahe zuviel verraten. Eigentlich war auch schon meine Skizze zu viel des Guten ... Ich hätte gerne noch zugewartet, womit sich der Fragesteller meldet. Die Schnittpunkte und die partiellen Ableitungen hätte ich gerne von ihm selbst gesehen. - Der Funktionsterm ist durch 2 zu kürzen! - Mit der y-Achse gibt es noch 2 weitere Schnittpunkte. mY+
24.11.2010, 19:34	KingLui987	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführlichen Antworten. Die partiellen Ableitungen konnte ich selbst bestimmen, auch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen waren kein Problem. Einzig die Tatsache, das «die Ableitung der Tangens des Anstiegswinkel ist» war mir neu, sodass ich die Winkel nicht berechnen konnte. Vielen Dank. Ich habe noch eine weitere Aufgabe, wobei ich einen kleinen Anstoß brauche. Welcher Punkt der Ebene $\begin{eqnarray} <br /> 2x+3y+z=14 <br /> \end{eqnarray}$ hat den kleinsten Abstand zum Ursprung? Ich weiß das die Lösung mit Hilfe des Langranschen Multiplikationsverfahrens erreicht wird, einzig die Formulierung der Nebenbedingen stellt ein Problem für mich dar. Die durchzuführende Rechnung, mit Hilfer der einzelnen partiellen Ableitungen sollte kein Problem darstellen. Vielleich habe Sie Lust mir nochmal zuhelfen. Vielen Dank
24.11.2010, 20:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Abstand eines Punktes X(x1; x2; x3) zum Ursprung ist die Länge der Strecke OX, also der Betrag des Vektors $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OX} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Anstatt einen Wurzelausdruck zu minimieren, kann das auch mit dessen Quadrat geschehen. Die Extremstelle ändert sich dadurch nicht. Übrigens gibt's dazu auch einen geometrischen Weg ... mY+
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24.11.2010, 20:51	KingLui987	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Ihre schnelle Antwort. Hat mir bereits geholfen, hoffe ich jedenfalls ;-) Mein Ansatz sieht so aus: $\begin{eqnarray} <br /> z = f(x,y,z) = 2x + 3y + z - 14=0<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> u = \gamma (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Mit Hilfe des Lagranschen Multiplikationsverfahrens gilt: $\begin{eqnarray} <br /> F(x,y,z,\lambda ) = f(x,y,z) + \lambda \gamma (x,y,z)<br /> \end{eqnarray}$ Also folgt daraus: $\begin{eqnarray} <br /> F(x,y,z,\lambda ) = 2x + 3y + z - 14 + \lambda (x^{2} + y^{2} + z^{2})<br /> \end{eqnarray}$ Ist dieser Ansatz bisher richtig? Nun versuche ich die partiellen Ableitungen zu erstellen und mit Hilfe der entstehenden GLS $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu eliminieren? Bin ich bis hiern auf dem richtigen Weg?
24.11.2010, 23:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz stimmt noch, aber danach ist bei Lagrange ein fataler Fehler passiert! Du hast Haupt- und Nebenbedingung vertauscht. Richtig ist $\begin{eqnarray} F(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(2x + 3y + z - 14) \end{eqnarray}$ denn die zu minimierende Hauptbedingung ist das Quadrat des Abstandes und die Nebenbedingung ist die Gleichung der Ebene. Bei richtiger Rechnung musst du den Punkt (2; 3; 1) erhalten, mit dem Abstand $\begin{eqnarray} d_0 = ... \end{eqnarray}$ mY+
25.11.2010, 00:18	KingLui987	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, wie selbsterklärend! Vielen Dank, Stunden rumgerechnet und kein vernünftiges Ergebnis! Jetzt habe ich genau den von Ihnen genannten Punkt errechnet, hier der Rechenweg für alle interessierten: Hauptbedingung: $\begin{eqnarray} <br /> z = f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} <br /> z = \gamma (x,y,z) = 2x + 3y + z -14 = 0<br /> \end{eqnarray}$ Lagransches Multiplikationsverfahren: $\begin{eqnarray} <br /> F (x,y,z) = f(x,y,z) + \lambda \gamma (x,y,z)<br /> \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} <br /> F (x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} +\lambda ( 2x + 3y + z -14)<br /> \end{eqnarray}$ Partielle Ableitungen: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dF}{dx} = 2x + 2\lambda \Rightarrow x = -\lambda - - - - (I)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dF}{dy} = 2y + 3\lambda = 0 \Rightarrow y = -\frac{3\lambda}{2} - - - - (II)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dF}{dz} = 2z + \lambda = 0 \Rightarrow z = -\frac{\lambda}{2} ---- (III)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dF}{d\lambda} = 2x + 3y + z -14 = 0 ---- (IV)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> (I), (II) und (III) in (IV) einsetzen \ \Rightarrow \lambda = -2<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \lambda = -2\hspace{5 mm} in (I), \hspace{3 mm}(II)\hspace{3 mm} und (III) \hspace{3 mm}einsetzen<br /> \end{eqnarray}$ ergibt den Punkt, wie von mYthos bereits richtig berechnet P(2; 3; 1) mit $\begin{eqnarray} d_0=\sqrt{15} \end{eqnarray}$ Vielen Dank nochmal für Ihre Zeit, hat mir einiges verdeutlicht. Und jetzt gute Nacht!
25.11.2010, 00:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur noch eine Kleinigkeit: $\begin{eqnarray} d = \sqrt{14} \end{eqnarray}$ .. (nicht 15) Und: Der Mann hieß: Lagrange und so heisst auch das Verfahren. mY+
06.04.2017, 15:17	Benney	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand beantworten, wie ich vorgehe wenn ich die Schnittpunkte haben möchte? Ich muss ja wenn ich den Schnittpunkt mit der x- Achse haben möchte y= 0 einsetzen (Ausgangsgleichung) und nach x umformen. $\begin{eqnarray} <br /> 2x^{3} + 6y^{3} - 24y + 6x = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Aber wie löse ich nach x auf wenn ich 2 mal ^3 in der Funktion hab ?
06.04.2017, 15:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach y = 0 kommt $\begin{eqnarray} 2x^3 + 6x = 0 \end{eqnarray}$ Das ist nur EINmal die 3. Potenz. Tipp: Klammere 2x aus und wende dann den Satz vom Nullprodukt an. Hinweis: Es gibt nur eine reelle Lösung. mY+
06.04.2017, 15:44	Benney	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Rückmeldung. Würde ja bedeutet $\begin{eqnarray} <br /> 2x^{3} + 6x = 0 <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br />2x (x^2 + 3) = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Also ist x1 = 0 Dann $\begin{eqnarray} <br />x^2 + 3 = 0 /-3 <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br />x^2 = -3 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ und dass hat dann Keine Lösung. Weil ich die 2te Wurzel nicht ziehen kann ? Also ist x = 0 der Schnittpunkt mit der x-Achse stimmts?
06.04.2017, 15:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja; der Punkt (0; 0) ist natürlich auch gleichzeitg der Schnittpunkt mit der y-Achse. Und die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + 3 = 0 \end{eqnarray}$ hat nur komplexe Lösungen. mY+
06.04.2017, 16:55	Benney	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank. Den ermittelten x-Wert setze ich jetzt in die Ableitung ein oder? $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=-\frac{6 0^2+6}{18y^2-24} \end{eqnarray}$ _ Wäre ja dann $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=-\frac{6}{18y^2-24} \end{eqnarray*}$ _ aber ich hab ja noch ein y-im Nenner? Gruß
06.04.2017, 17:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch festgestellt, dass dort y ebenfalls Null ist! Du hattest ja mit y = 0 auch eben diesen x-Wert berechnet! mY+
06.04.2017, 20:52	Jebee	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh ok :-) $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}=-\frac{6 0^2+6}{180^2-24} = 6/24 = 1/4 \end{eqnarray}$ _ und den winkel bekomme ich, indem ich arctan(1/4) bin ich richtig ? :-)
07.04.2017, 01:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es! mY+

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