Partialbruchzerlegung mittels Limesmethode

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24.11.2010, 14:29	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung mittels Limesmethode Hallo, nachdem die Forumsuche lediglich einen Treffer für "Limesmethode" anzeigt und der gefundene Thread keine Hilfe darstellt, habe ich mir erlaubt einen neuen Thread aufzumachen, obwohl ich vor kurzem bereits einen ähnlichen allerdings aufgemacht habe, vll hilft es ja künftig jemanden. Im Netz sowie im Buch "Repetitorium der höheren Mathematik" hat meine Recherche zur Partialbruchzerlegung mittels Limesmethode keine Früchte getragen. In meinem Skriptum ist die Methode kurz beschrieben, allerdings ohne Beispiel, weswegen ich nicht was anfangen kann mit der Erklärung. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Stellen Sie $\begin{eqnarray} \frac{-1}{x+3} +\frac {2}{x-2} +\frac {1}{(x-2)^2} \end{eqnarray}$ als einen Bruch dar. (in der Form: $\begin{eqnarray} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Das habe ich getan: $\begin{eqnarray} \frac{x^2+7x-13}{(x+3)(x-2)^2} \end{eqnarray*}$ Nun soll ich von dieser rationalen Funktion die Partialbruchzerlegung mittels "Limesmethode" berechnen. Da ich leider nicht weiß, wie man die "Limesmethode" anwendet, komme ich hier leider nicht weiter. Vll. kennt ja jmd. einen Link zu einer guten Erklärung oder kann mir die Limesmethode erklären? Danke im Voraus.
24.11.2010, 14:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal im Repetitorium der höheren Mathematik auf Seite 69 Die sogenannte "Zuhaltemethode". Diese kannst du hier nicht für alle Koeffizienten nutzen! Nur für die linearen! Beim Quadrat kannst dus nur fürs Quadrat nutzen, nicht aber für den linearen Teil des Quadrats (Also ich meine, du musst ja eine doppelte Nullstelle des Nenners, nacher so aufsplitten: (x-2)+(x-2)². Die Zuhaltemethode gilt nun nur für (x-2)² )
24.11.2010, 15:02	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Equester, mit der Zuhaltemethode habe ich mich gestern beschäftigt, die ist auch verständlich. Bei dieser Aufgabe muss ich allerdings die Limesmethode verwenden und finde leider keine anständige Erklärung bzw. wär mir mit einer Beispielrechnung schon sehr geholfen...
24.11.2010, 15:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Entspricht denn die Zuhaltemethode nicht der Limesmethode? Ich muss ja mit dem Limes arbeiten. Sonst, würde ich im Nenner eine 0 haben Edit: Hier ein Bsp. ganz unten http://www.martinimig.de/Dynsys/node10.html Limesmethode=Grenzwertmethode="Zuhalte"methode
24.11.2010, 16:32	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke. Die Zuhaltemethode hatte ich bisher anders gekannt: Bei dem Beispiel aus dem Link wär ich so vorgegangen: $\begin{eqnarray} \frac{8x-12}{(x+1)(x+2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{a}{(x+1)} + \frac{b}{(x+2)} \end{eqnarray}$ Ich möchte zuerst a errechnen. 1. (x+1) wird null für x=-1 2. Ich multipliziere die Gleichung mit (x+1) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8x-12}{(x+2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + \frac{b(x+1)}{(x+2)} \end{eqnarray}$ 3. Ich setze x=-1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8(-1)-12}{(-1+2)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + \frac{b(-1+1)}{((-1)+2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-8-12}{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + \frac{b(0)}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -20 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray*}$ Ist eigentlich dasselbe Prinzip, bloß ohne limes zu schreiben... Jedenfalls, weiß ich nun, was zu tun ist. Danke!
24.11.2010, 16:43	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup passt so Das mit dem Limes ist aufwendiger. "Zuhalten" geht schneller Die Grenzwertmethode ist aber korrekter!
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24.11.2010, 17:24	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Berechnung von b habe ich leider Probleme... $\begin{eqnarray} \frac{-1}{x+3} +\frac {2}{x-2} +\frac {1}{(x-2)^2} \end{eqnarray}$ als Bruch dargestellt: $\begin{eqnarray} \frac{x^2+7x-13}{(x+3)(x-2)^2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{x^2+7x-13}{(x+3)(x-2)^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-2)} + \frac{C}{(x-2)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to -3} (\frac{x^2+7x-13}{(x-2)^2}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{a \to -3} (a + \frac{B(x+3)}{(x-2)} + \frac{C(x+3)}{(x-2)^2}) \end{eqnarray}$ Nun setze ich für sämtliche x=-3 auf Grund der Limesschreibweise, stimmt das? $\begin{eqnarray} \frac{(-3)^2+7(-3)-13}{((-3)-2)^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + \frac{B((-3)+3)}{((-3)-2)} + \frac{C((-3)+3)}{((-3)-2)^2} \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} \frac{(9-21-13}{25} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + \frac{B0}{-5} + \frac{C0}{25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-25}{25} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ Berechnung für b: $\begin{eqnarray} \frac{x^2+7x-13}{(x+3)(x-2)^2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-2)} + \frac{C}{(x-2)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{b \to 2} (\frac{x^2+7x-13}{(x+3)(x-2)}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{b \to 2} \frac{a(x-2)}{(x+3)} + b + \frac{C}{(x-2)} \end{eqnarray*}$ Hier stimmt irgendetwas nicht ... kannst mir wer weiterhelfen?
24.11.2010, 17:29	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon erwähnte...die Grenzwertmethode lässt sich nicht immer anwenden. Hier zum Beispiel nur für A und C...B muss durch den Koeffizientenvergleich bestimmt werden, was aber einfach ist, da du ja dann schon A und C hast
24.11.2010, 17:33	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn die Angabe besagt "Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung mittels Limesmethode"?
24.11.2010, 17:34	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann rechnest du A und C mit dem Grenzwertmethode und B eben mit der Koeffizientenmethode Zumindest mir ist nicht bekannt, dass sich die Grenzwertmethode auch für nichtlineare Nennernullstellen verwenden lässt Oo (Zumindest für jeden Teil davon)
24.11.2010, 17:37	metriod	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke!
24.11.2010, 17:38	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne
06.02.2011, 06:53	SKYMEMiC	Auf diesen Beitrag antworten »
Unser Prof in der FH hat uns eine quadratische Zuhalte Methode gezeigt, aber ob das dann wirklich ne schnellere Methode ist, das sei mal dahingestellt... Für ihn vielleicht Beispiel: $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{x^3-5x^2+8x-4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{01} = 1; x_{02,03} = 2 \end{eqnarray}$ Und jetzt aufpassen, da die doppelte Nullstelle nicht als Binom da steht: $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{(x^2-2)(x-1)} = \frac{A_{1}x + A_{2}}{x^2-2} + \frac{B}{x-1} \end{eqnarray}$ B kann man mit der normalen Zuhalte-Methode ermitteln jetzt und man bekommt $\begin{eqnarray} B = -2 \end{eqnarray}$ Der B-Bruch wird zum Nenner auf der linken Seite erweitert und man setzt B ein. $\begin{eqnarray} \frac{x+1}{(x^2-2)(x-1)} = \frac{A_{1}x + A_{2}}{x^2-2} + \frac{(-2)(x^2-2)}{(x^2-2)(x-1)} \end{eqnarray}$ Der neue B-Bruch wird nun auf die linke Seite gebracht: $\begin{eqnarray} \frac{x+1+2(x^2-2)}{(x^2-2)(x-1)} = \frac{A_{1}x + A_{2}}{x^2-2} \end{eqnarray}$ Ausmultiplizieren und zusammenziehen ergibt: $\begin{eqnarray} \frac{2x^2+x-3}{(x^2-2)(x-1)} = \frac{A_{1}x + A_{2}}{x^2-2} \end{eqnarray}$ Auf der linken Seite wird der Zähler durch die lineare Nullstelle geteilt, also Polynomdivision oder Horner-Schema. Das Ergebnis wird zum Zähler und da die lineare Nullstelle abgetrennt wurde bleibt im Nenner nur die doppelte Nullstelle übrig: $\begin{eqnarray} \frac{2x+3}{(x^2-2)} = \frac{A_{1}x + A_{2}}{x^2-2} \end{eqnarray}$ Beide Seiten haben nun dieselbe Form und man kann das Ergebnis durch Koeffizientenvergleich ablesen: $\begin{eqnarray} A_{1} = 2; A_{2} = 3 \end{eqnarray}$

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