Polarkoordinaten

24.11.2010, 15:27

laramo

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Polarkoordinaten

Meine Frage:
Hey Leute brauch Hilfe bitte!

Berechnen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen und stellen Sie diese in kartesischer Form
und in Polarkoordinaten dar.
$\begin{eqnarray*} zx^{2} + (-2\sqrt{6} - \sqrt{2}i )z + \frac{9}{2} + \sqrt{3} i = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meine idee wäre die p-q-formel um zur kartesischen darstellung zu komm..
aber am ende weiß ich nicht weiter, keine ahnung ob man das auch überhaupt so machen darf?

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} =-\frac{(-2\sqrt{6}\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{\frac{(-2\sqrt{6}\sqrt{2}i)}{2}^{2}-(\frac{9}{2}+\sqrt{3}i)}<br /> <br /> z_{1,2} =-\frac{(-2\sqrt{6}\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{\frac{(24 - 2(-2 \sqrt{6}\sqrt{2}i)-2)}{4}-(\frac{9}{2}+\sqrt{3}i)}<br /> <br /> z_{1,2} =-\frac{(-2\sqrt{6}\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{1 + \sqrt{6}\sqrt{2}i - \sqrt{3}i }<br /> <br /> z_{1,2} =-\frac{(-2\sqrt{6}\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{1 +\sqrt{3}i } \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig? was mach ich jetzt?

24.11.2010, 15:33

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Wieso erscheint «x» nur einmal in der Aufgabe, dann aber nie mehr?

24.11.2010, 15:33

corvus

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RE: Polarkoordinaten

Zitat:

Original von laramo

Hey Leute brauch Hilfe bitte!
..und in Polarkoordinaten dar

$\begin{eqnarray*} zx^{2} + (-2\sqrt{6} - \sqrt{2}i )z + \frac{9}{2} + \sqrt{3} i = 0 \end{eqnarray*}$

... und was soll uns denn der erste Summand mit dem x² sagen verwirrt

verwirrt

.

24.11.2010, 16:22

laramo

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RE: Polarkoordinaten
ach mist.. das x is nur wegen des formeleditors reingerutscht.. 'tschuldigt!

24.11.2010, 16:23

laramo

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RE: Polarkoordinaten
also z² und der rest stimmt dann!

24.11.2010, 16:37

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Nein, zwischen Wurzel6 und Wurzel2 fehlt ein Minuszeichen.
Die Wurzel aus der Summe (am Schluss) muss noch in Normalform gebracht werden.

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24.11.2010, 16:46

laramo

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RE: Polarkoordinaten
ja stimmt das minus zeichen hab ich auch vergessen -.- war schon glücklich, dass ich das mit dem formeleditor hingekriegt hab...

$\begin{eqnarray*} <br /> z_{1,2}=-\frac{(-2\sqrt{6}-\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{1+\sqrt{3}i} \end{eqnarray*}$

und wie zieh ich nun die wurzel aus dem hinteren teil?

24.11.2010, 16:55

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Löse $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sqrt{3}i} = a + b i \end{eqnarray*}$ nach a und b.

24.11.2010, 18:15

laramo

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RE: Polarkoordinaten
ernsthaft?!
ich komm dabei auf nix..
hab jetz beide seite quadriert.. dann nach b² umgestellt aber dann hab ich ja noch was viel größeres unbekanntes dahinter..
und alle andern umstell versuche fürn nur zu linke seite ist gleich rechte seite, was auch irgendwie unsinnig ist.. unglücklich

unglücklich

kannst dumir den anfang zeigen?

24.11.2010, 18:42

wisili

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RE: Polarkoordinaten
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3}i = (a + b i)^{2} = (a^{2}-b^{2}) + 2a b i \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} 1 =a^{2}-b^{2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} = 2a b \end{eqnarray*}$

Löse die letzte Gleichung nach a auf und setze in die zweitletzte ein. Dann bestimmst du die reellen Lösungen für b (und dann für a).

24.11.2010, 19:03

laramo

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RE: Polarkoordinaten
dann hab ich zunächst für $\begin{eqnarray*} a= \frac{\sqrt{3}}{2b} \end{eqnarray*}$ raus..
setz ich das nun in die vorletzte gleichung ein.. krieg ich irgendwie keine reelle lösung für b raus..
nur
$\begin{eqnarray*} 1 = (\frac{\sqrt{3}}{2b})^{2} - b^{2}<br /> 1 = \frac{3}{4b^{2}} - b^{2} \end{eqnarray*}$
und was dann?!

24.11.2010, 19:04

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Ersetze b^2 durch z.B. x. Löse nach x.

24.11.2010, 19:31

laramo

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RE: Polarkoordinaten
da hab ich aber sehr seltsame werte raus..
ich habs mit x ersetzt:
$\begin{eqnarray*} x_{1}= \frac{1}{2} <br /> x_{2}=\frac{-3}{2} \end{eqnarray*}$
um b denn noch zu erhalten zieh ich die wurzel..
$\begin{eqnarray*} b_{1}= \sqrt{\frac{1}{2}} <br /> b_{2}= -\sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und denn kommt für a:
$\begin{eqnarray*} a_{1}= \frac{\sqrt{-3}}{2\sqrt\frac{1}{2}} <br /> a_{2}= - \frac{\sqrt{-3}}{2\sqrt\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

irgendwie ist das ganz schön kompliziert für sone aufgabe oder nicht?!
und wie soll das ganze denn am schluss aussehen?!

24.11.2010, 20:39

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Die b-Werte sind richtig, jene von a sind falsch (nicht einmal reell).

Die Schlussergebnisse sind

$\begin{eqnarray*} z_{1} =\sqrt{\frac{3}{2}} , z_{2} = 3\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{2} \, i \end{eqnarray*}$

24.11.2010, 21:56

laramo

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RE: Polarkoordinaten
ja für a muss denn eigentlich rauskommen
$\begin{eqnarray*} a_{1}= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\frac{1}{2}} } = \sqrt{\frac{3}{2} }<br /> a_{2}= - \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ?! weiß nich warum da schon wieder nen minus dazwischen war, wo es nicht hingehört..

und wo hast du es dann eingesetzt?! es tut mir echt leid, dass ich da so aufm schlauch steh..

wenn ich denn bei $\begin{eqnarray*} z_{1,2} = ... \end{eqnarray*}$
meine ergebnisse einsetze.. das z was da noch vorhanden ist auch durch a + bi und halt meine werte ersetze.. komm ich irgendwie nicht darauf :S

24.11.2010, 22:02

wisili

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RE: Polarkoordinaten
Du hast (oben) gefunden:

$\begin{eqnarray*} <br /> z_{1,2}=-\frac{(-2\sqrt{6}-\sqrt{2}i)}{2}\pm\sqrt{1+\sqrt{3}i} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} <br /> z_{1,2}=-\frac{(-2\sqrt{6}-\sqrt{2}i)}{2}\pm (a + b i) \end{eqnarray*}$

Für a und b einsetzen!

24.11.2010, 22:35

laramo

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RE: Polarkoordinaten
oh man.. ja klar.. was ich schon wieder mit dem z wollte.. muss mir das glaube nochmal ordentlich aufschreiben.. komm bei meinen schmierblättern schon ganz durcheinander..

ist das dann in der polardarstellung so richtig:

$\begin{eqnarray*} z_{1}= \frac{3}{2}\cdot e^{i0} = \frac{3}{2}cos0+ \frac{3}{2}i\cdot sin0<br /> <br /> z_{2}=\sqrt{15,5} \cdot e^{i\frac{\pi }{8}} = \sqrt{15,5} cos\frac{\pi }{8} + \sqrt{15,5}i\cdot sin\frac{\pi }{8} \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{8} \end{eqnarray*}$ sind gerundet.. :S darf ich das?!

06.12.2010, 16:20

VinSander82

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RE: Polarkoordinaten
halle, würde ein neuen Beitrag zu dem oben genannten Thema öffnen

in der Aufgabe die ich bearbeite, wird nach den Polarkoordinaten von i und $\begin{eqnarray*} (-i)^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-i)^{3} \end{eqnarray*}$ = i

wie gehe ich da vor?

ich weiss nicht , ob ich so ruhctig angefangen habe:

z=i
und $\begin{eqnarray*} | z | = \sqrt{\left(0\right)^{2} + \left(i\right)^{2} } \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} = \sqrt{i}^{2} = i \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 16:22

baphomet

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RE: Polarkoordinaten
Welcher Faktor steht denn bitte vor i^3(oder besser -i), also welche Zahl(Koeffizient),
dann kannst du den Betrag berechnen. Der Winkel sollte ja ohnehin klar sein.
Du mußt den Betrag mit reellen Zahlen berechnen.

06.12.2010, 16:28

VinSander82

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RE: Polarkoordinaten
sorry hab das nicht gesehen ,hab mein beitrag geändert

06.12.2010, 16:32

baphomet

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RE: Polarkoordinaten
Gut du hast deinen Fehler korrigiert, aber den Betrag kannst du immer noch
nicht berechnen.

Welcher Fakor steht vor dem i, welche reelle Zahl, diese gibt den Abstand zum
K.ursprung an. Der Winkel ist dir ja hoffentlich bereits klar.

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt[]{1} \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 12:02

VinSander82

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RE: Polarkoordinaten
also vor dem i steht garnichts, so auf jeden fall inder aufgabe. oder meinst du dann eben die 1?
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot i \end{eqnarray*}$

11.02.2011, 22:56

VinSander82

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RE: Polarkoordinaten
hallöle kann mit der aufgabe vielleicht weiter geholfen werden?

vg

12.02.2011, 00:55

mYthos

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Was willst du nun genau wissen?
Für die Polarkoordinaten einer komplexen Zahl ist das Zahlenpaar $\begin{eqnarray*} (r; \varphi) \end{eqnarray*}$ maßgebend. r ist der Betrag (Länge des Zeigers) und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ der Winkel des Zeigers mit der reellen Achse.

Dann wird doch das bei z = i nicht gar so schwer sein, oder?

mY+

19.02.2011, 01:09

VinSander82

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also ist die Polarkoordiantenform $\begin{eqnarray*} z = 1 + \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

oder muss das so aussehen: $\begin{eqnarray*} z = 1 + e^{\frac{\pi }{2}} \end{eqnarray*}$

19.02.2011, 09:49

lgrizu

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Weder noch, die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl hat die Form $\begin{eqnarray*} z=\cos( \phi) + i \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Welchen Winkel beschreibt eine rein imaginäre Zahl?

19.02.2011, 12:32

VinSander82

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also $\begin{eqnarray*} z =cos 1 + i \cdot sin \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

ahso , rein imaginär, denke 90 Grad Winkel

19.02.2011, 13:25

mYthos

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Zitat:

Original von VinSander82 also $\begin{eqnarray*} z =cos 1 + i \cdot sin \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ahso , rein imaginär, denke 90 Grad Winkel

cos (1) ?? Richtig ist $\begin{eqnarray*} z =\cos \frac{\pi} 2 + i \cdot \sin \frac{\pi } 2 \end{eqnarray*}$

20.02.2011, 15:37

VinSander82

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vielen dank

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