Konvergenz beweisen

24.11.2010, 16:39

Taladan

Konvergenz beweisen

Hallo, ich soll in einer Folge die konvergenz beweisen.

Und zwar ist sie rekursiv (ich glaube zumindest das nennt sich so)

$\begin{eqnarray*} a_1 = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \frac{a_n}{2} + \frac {2}{a_n} \end{eqnarray*}$

Rein aus dem bauch würde ich sagen, die folge ist gar nicht konvergent, da sie nicht auf Unendlich zu steuert. Damit wäre sie Divergent, oder liege ich da falsch?

24.11.2010, 16:50

Danip159

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz beweisen

Zitat:

Original von Taladan
Rein aus dem bauch würde ich sagen, die folge ist gar nicht konvergent, da sie nicht auf Unendlich zu steuert. Damit wäre sie Divergent, oder liege ich da falsch?

Wenn eine Folge konvergent ist, dann steuert sie eben nicht auf unendlich zu. Wenn sie gegen -unendlich oder +unendlich geht nennt man das ganze bestimmt divergent.
Augenzwinkern

Und wie kommst du auf den Bauchgefühl? Dass die Fologe nicht gegen unendlich konvergiert (und auch nciht gegen -unendlich?) smile

24.11.2010, 18:39

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz beweisen
Ich weiß, daher verstehe ich nicht, warum ich hier konvergenz zeigen soll, wenn die Formel eben divergent ist.

Warum meine ich das die Folge Divergent ist? Einfach mit Worten ausgedrückt, der erste Bruch steuert gegen unendlich der zweite gegen null. Da beide Brüche addiert werden, steigert sich die Folge gegen unendlich, da es sich um eine Addition handelt.

24.11.2010, 18:44

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Verlass dich lieber nicht auf dein Bauchgefühl: Die Folge ist konvergent, und zwar mit Grenzwert 2.

Genauer gesagt handelt es sich um den Spezialfall $\begin{eqnarray*} r=4 \end{eqnarray*}$ des Heron-Verfahrens

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{r}{a_n} \right) \end{eqnarray*}$

zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{r} \end{eqnarray*}$ .

24.11.2010, 21:06

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche gerade die ersten Glieder zu berechnen. Bin aber verwundert.

$\begin{eqnarray*} a_n=(3, \frac{13}{6}, 1, \frac{5}{2}, \frac{41}{20} ...) \end{eqnarray*}$ Ist das korrekt?

Hast wer irgendwo ein egute internetseite, wo man sich schlau lesen kann, wie man hier vorgehen kann? Ich stehe da echt wie ein Ochs vorm Berg.

24.11.2010, 21:15

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur bis zu $\begin{eqnarray*} \frac{13}{6} \end{eqnarray*}$ . Wieso du als nächstes auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ kommst, kannst wohl nur du beantworten. unglücklich

24.11.2010, 21:23

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{13}{6}}{2}+\frac {2}{\frac{13}{6}}= \frac{13}{12}+\frac{12}{13} = 1 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

24.11.2010, 21:28

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist ja bewusst, dass die Fähigkeiten zur Bruchrechnung bei den meisten inzwischen weitgehend verkümmert sind - aber dieses frischfröhliche

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{12}+\frac{12}{13} \stackrel{?}{=} 1 \end{eqnarray*}$

versetzt mir jetzt doch einen ziemlichen Schock. geschockt

24.11.2010, 22:05

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Depp habe mal genommen. Langsam läßt meine konzentration nach...

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz beweisen

Verwandte Themen